Kalendernøtt dag 6

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Kalendernøtt dag 6

Innlegg Kay » 06/12-2020 18:36

Hei, så kalender døde litt ut, får prøve å holde koken litt.

Hvor mange heltallspar $(x,y)$ tilfredsstiller likninga

$$x^3-27y^3+6x^2-9y^2+5x-9y-1=0$$
[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}+\mu \nabla^2\textbf{v}[/tex]
Kay offline
Abel
Abel
Innlegg: 672
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: Kalendernøtt dag 6

Innlegg LAMBRIDA » 07/12-2020 21:42

Eg har prøvd med mange heltallspar uten å lykkes. Viss eg ikke overser noe her, så mener eg det ikke finnes noen.
LAMBRIDA offline
Cauchy
Cauchy
Innlegg: 221
Registrert: 16/11-2011 19:50
Bosted: Hjelmeland

Re: Kalendernøtt dag 6

Innlegg Kay » 07/12-2020 22:36

LAMBRIDA skrev:Eg har prøvd med mange heltallspar uten å lykkes. Viss eg ikke overser noe her, så mener eg det ikke finnes noen.


Er riktig, det finnes ingen heltallspar som tilfredsstiller den. Klarer du å vise hvorfor?
[tex]\rho \frac{D\textbf{v}}{Dt}=-\nabla p+\rho\textbf{g}+\mu \nabla^2\textbf{v}[/tex]
Kay offline
Abel
Abel
Innlegg: 672
Registrert: 13/06-2016 18:23
Bosted: Gløshaugen

Re: Kalendernøtt dag 6

Innlegg Emilga » 07/12-2020 23:22

Jeg kom frem til samme svar som LAMBRIDA, med følgende strategi (i spoiler):

[+] Skjult tekst
Flytt $y$-leddene over til høyre side. Se nå på venstre side og høyre side modulo $3$ hver for seg.
Emilga offline
Riemann
Riemann
Innlegg: 1541
Registrert: 20/12-2006 19:21
Bosted: NTNU

Re: Kalendernøtt dag 6

Innlegg ABEL1 » 08/12-2020 01:34

Forslag til løsning uten moduloregning

[tex]x^3+6x^2+5x-27y^3-9y^2-9y-1=0[/tex]
[tex]x^3+6x^2+5x-1=27y^3+9y^2+9y[/tex]
[tex]x^3+6x^2+5x-1=9y(3y^2+y+1)[/tex]
[tex]\frac{x^3+6x^2+5x-1}{y(3y^2+y+1)}=9[/tex]

For at likningen skal ha en løsning med verdi 9 må [tex]x^3+6x^2+5x-1[/tex] kunne uttrykkes på formen [tex]9n[/tex] der [tex]n[/tex] er et heltall.

[tex]x^3+6x^2+5x-1=9n[/tex] som kan faktoriseres til
[tex](\sqrt{x(x+1)(x+5)}-\sqrt{1})(\sqrt{x(x+1)(x+5)}+\sqrt{1})= 3*3n[/tex]

Siden det ikke finnes noen heltallig løsning på likningene [tex](\sqrt{x(x+1)(x+5)}-\sqrt{1})=3[/tex]
og
[tex](\sqrt{x(x+1)(x+5)}+\sqrt{1})=3[/tex]

så kan det heller ikke finnes noen kombinasjoner [tex](x,y)[/tex] som gir verdien 9 i likningen i fjerde linje
ABEL1 offline

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 21 gjester

cron