matematikk.net

dag 13,

Finn alle ordnede løsninger (m,n) av likningen
[tex]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2018}[/tex]

ABEL1 skrev:dag 13,

Finn alle ordnede løsninger (m,n) av likningen
[tex]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2018}[/tex]

multipliserer med 2018mn, så:

[tex]2018n+2018m=3mn\\ \\ 2*1009(n+m)=3mn[/tex]

ser iallfall at:
[tex]n=1009, m=2018[/tex]
og
[tex]m=1009, n=2018[/tex]

og sikkert flere løsninger...

Løsninger:(m,n)=(-678048,672),(0,0),(672,-678048),(673,1358114),(674,340033),(1009,2018),(2018,1009),(340033,674),(1358114,673)

Janhaa skrev:

ABEL1 skrev:dag 13,

Finn alle ordnede løsninger (m,n) av likningen
[tex]\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{3}{2018}[/tex]

multipliserer med 2018mn, så:

[tex]2018n+2018m=3mn\\ \\ 2*1009(n+m)=3mn[/tex]

ser iallfall at:
[tex]n=1009, m=2018[/tex]
og
[tex]m=1009, n=2018[/tex]

og sikkert flere løsninger...

Delvis riktig, en litt lureoppgave, siden oppgaven ikke begrenser bare til positive heltall.

Multipliser [tex]2018[/tex] på begge sider av likhetstegnet og forkort [tex]2018[/tex] på høyre side slik at likningen blir [tex]2018(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})=3[/tex]. Det er tilstrekkelig å vise at ved å anvende identiteten [tex]\frac{1}{\frac{1}{a}}=1:\frac{1}{a}=1*\frac{a}{1}=a[/tex] på [tex]m[/tex] og [tex]n[/tex] kan liknngen reduseres til [tex]2018(\frac{1}{\frac{2018}{a_1}}+\frac{1}{\frac{2018}{a_2}})=a_1+a_2=3[/tex] . Gitt at [tex]a_1\in \mathbb{\mathbb{Z^-}}[/tex] og [tex]a_2\in \mathbb{Z}^+[/tex] gir det uendelige antall kombinasjoner [tex](m,n)[/tex] når de uttrykkes som

[tex](\frac{2018}{a_1}, \frac{2018}{a_2})[/tex]