Dag 21

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Dag 21

Innlegg ABEL1 » 21/12-2020 10:00

Tre oppgaver for dag 21

Oppgave 1

La [tex]x,y,z[/tex] være tre distinkte postive heltall. For hvilke verdier er likningen gyldig?
[tex]\frac{2010}{x}+\frac{2010}{y}+\frac{2010}{z}=1273[/tex]


Oppgave 2
Finn heltallet når brøken regnes ut
[tex]\frac{\left(2^2+4^2+\ldots{2010}^2+{2012}^2\right)^2-\left(1^2+3^2+\ldots+{2009}^2+{2011}^2\right)^2}{3018\ast(1^2+2^2+3^2\ldots+{2011}^2+{2012}^2)}[/tex]


Oppgave 3
Bevis at [tex]n^4+n^3+n^2+n^1+n^0[/tex] er et oddetall
ABEL1 offline

Re: Dag 21

Innlegg Mattebruker » 21/12-2020 13:22

OPPG. 2

Verktøy: Konjugatsetninga + sum ( aritmetisk rekke )

[tex]\sum_{k = 1}^{k = 1006}[/tex]( 4k - 1 )=[tex]\frac{3 + 4023}{2}\cdot 1006[/tex]= 2025078

Svar: = [tex]\frac{2025078}{3018}[/tex] = 671
Mattebruker offline

Re: Dag 21

Innlegg ABEL1 » 21/12-2020 14:18

Mattegjest skrev:OPPG. 2

Verktøy: Konjugatsetninga + sum ( aritmetisk rekke )

[tex]\sum_{k = 1}^{k = 1006}[/tex]( 4k - 1 )=[tex]\frac{3 + 4023}{2}\cdot 1006[/tex]= 2025078

Svar: = [tex]\frac{2025078}{3018}[/tex] = 671


Det er helt riktig løst

En alternativ tilnærming til 671 når du har brukt kvadratsetningen og forkortet brøken er, gitt
[tex]\frac{a-b}{3018}[/tex]

Nå kan [tex]a-b=(2^2+4^2+...+2010^2+2012^2)-(1^2+3^2+...+2009^2+2011^2)[/tex] omskrives til [tex](1+2+3+4+5+...+2010+2011+2012)[/tex]


som igjen kan omskrives ved hjelp av symmetri til
[tex]((1006-1005)+(1006-1004)+...+(1006+1004)+(1006+1005))+(1006+1006)[/tex]


for at man skal kunne føre fram til observasjonen [tex](2011*1006)[/tex] +[tex](2*1006)[/tex]= [tex]\frac{2013*1006}{3018}=\frac{2013*1006}{1006*3}=\frac{2013}{3}=\frac{3*11*61}{3}=11*61=671[/tex]


på oppgave 3 glemte jeg forøvrig å nevne at [tex]n[/tex] er begrenset til positive heltall
ABEL1 offline

Re: Dag 21

Innlegg Mattebruker » 21/12-2020 14:31

OPPG. 3

Uttrykket n[tex]^{4}[/tex] + n[tex]^{3}[/tex] + n[tex]^{2}[/tex] + n[tex]^{1}[/tex] + n[tex]^{0}[/tex]

kan skrivast på forma

n ( n +1 ) ( n[tex]^{2}[/tex] + 1 ) + 1

Sett n( n+1 )( n[tex]^{2}[/tex] + 1 ) = P ( produkt )


n = partal [tex]\Rightarrow[/tex] (n + 1 ) = oddetal ( og vice versa ) [tex]\Rightarrow[/tex] P = partal [tex]\Rightarrow[/tex] P +1 = oddetal ( s. s. v. )
Mattebruker offline

Re: Dag 21

Innlegg ABEL1 » 21/12-2020 19:44

en alternativ løsning kunne vært å anta at uttrykket
[tex](2k+1)^4+(2k+1)^3+(2k+1)^2+(2k+1)^1+(2k+1)^0=16k^4+40k^3+40k^2+20k+5[/tex] alltid ender på ett odde siffer for[tex]k\in \mathbb{N}[/tex]



Faktorisert videre
[tex]2(8k^4+20k^3)+2(20k^2+10k)+5=2(8k^4+20k^3+20k^2+10k)+5[/tex]. Sett [tex]m=8k^4+20k^3+20k^2+10k, m\in \mathbb{N}[/tex] som tilsvarer [tex]2m+5[/tex]



De to første leddene i faktoriseringen har alltid samme paritet for alle heltallige positive verdier av [tex]k[/tex]. Summen av to partall blir alltid et partall og summen av et partall og et oddetall er alltid et oddetall for alle positive heltallsverdier av [tex]k[/tex]. Det beviser påstanden
ABEL1 offline

Re: Dag 21

Innlegg abelxx » 21/12-2020 20:58

(x,y)=(y,x)
(x,y,z)=(2,8,120),(2,9,45),(2,10,30),(2,12,20),(2,15,15),(2,20,12),(3,4,20),(3,5,10),(3,9,5),(3,20,4),(4,20,3)
abelxx offline

Re: Dag 21

Innlegg Mattebruker » 21/12-2020 21:55

Gitt [tex]\frac{2010}{x}[/tex] + [tex]\frac{2010}{y}[/tex] + [tex]\frac{2010}{z}[/tex] = 1273

[tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{1}{x}[/tex] + [tex]\frac{1}{y}[/tex] + [tex]\frac{1}{z}[/tex] = [tex]\frac{19}{30}[/tex] = [tex]\frac{3}{30}[/tex] + [tex]\frac{6}{30}[/tex] + [tex]\frac{10}{30}[/tex] = [tex]\frac{1}{10}[/tex] + [tex]\frac{1}{5}[/tex] + [tex]\frac{1}{3}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex] x = 10 [tex]\wedge[/tex] y = 5 [tex]\wedge[/tex] z = 3 eller x = 10 [tex]\wedge[/tex] y = 3 [tex]\wedge[/tex] z = 5 eller x = 3 [tex]\wedge[/tex] y = 10 [tex]\wedge[/tex] z = 5 o.s.v.........
Mattebruker offline

Re: Dag 21

Innlegg ABEL1 » 21/12-2020 22:15

det blir ikke riktig. oppgaven spør om å finne distinkte heltallige løsninger, ikke ordnede.
ABEL1 offline

Re: Dag 21

Innlegg Mattebruker » 22/12-2020 07:20

Meiner at eg har funne tre distinkte løysingar( x [tex]\neq[/tex] y [tex]\neq[/tex] z ).

Kven av desse som får merkelappen x , y og z er i og for seg uinteressant.

Løysingsmengda L = { 3 , 5 , 10 }

Er dette eit betre svar , eller er det noko eg har misforstått med denne oppgåva ?
Mattebruker offline

Re: Dag 21

Innlegg Gustav » 28/12-2020 18:14

ABEL1 skrev:Oppgave 3
Bevis at [tex]n^4+n^3+n^2+n^1+n^0[/tex] er et oddetall


Det enkleste her er vel å observere at for positive heltall $k$ og heltall $n$ gjelder $n^k\equiv n\pmod 2$, så da følger det at $n^4+n^3+n^2+n^1+n^0\equiv 4n+1\equiv 1\pmod 2$.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4470
Registrert: 12/12-2008 12:44

Re: Dag 21

Innlegg Gustav » 28/12-2020 18:19

Mattegjest skrev:Meiner at eg har funne tre distinkte løysingar( x [tex]\neq[/tex] y [tex]\neq[/tex] z ).

Kven av desse som får merkelappen x , y og z er i og for seg uinteressant.

Løysingsmengda L = { 3 , 5 , 10 }

Er dette eit betre svar , eller er det noko eg har misforstått med denne oppgåva ?


Utfordringen med slike oppgaver er jo å finne, med bevis, alle løsninger. Her har du funnet én, så besvarelsen er i beste fall delvis riktig.
Gustav offline
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4470
Registrert: 12/12-2008 12:44

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 20 gjester