Kvartsirkel og grønt-areal

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Figuren viser 1 kvartsirkel med 5 stolper. Annenhver hvit og grønn stolpe.
Oppgava er rett og slett å finne det grønne arealet.


B0F0D4E1-7FD5-43FB-AF9E-F5EEFE0C9569.jpeg
B0F0D4E1-7FD5-43FB-AF9E-F5EEFE0C9569.jpeg (384.73 kiB) Vist 3857 ganger
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Problemet er løsbart dersom kvartsirkelen delast inn i 5 like store bogar lik 18[tex]^{0}[/tex].
Kan Janhaa stadfeste eller avkrefte om denne problemstillinga er korrekt ?
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Mattebruker skrev: 19/03-2022 23:01 Problemet er løsbart dersom kvartsirkelen delast inn i 5 like store bogar lik 18[tex]^{0}[/tex].
Kan Janhaa stadfeste eller avkrefte om denne problemstillinga er korrekt ?
Ja, de 5 prikkene deler 90 graders vinkelen i 5 like deler/buer.


Edit
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Fort, gæli, og uelegant så tenker jeg bare at

$$A = \int_{10\cos(72^\circ)}^{10\cos(54^\circ)}\sqrt{100-x^2} \mathrm dx + \int_{10\cos(36^\circ)}^{10\cos(18^\circ)} \sqrt{100-x^2} \mathrm dx = 10\pi \mathrm{cm}^2$$
Bilde
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Aleks855 skrev: 20/03-2022 01:48 Fort, gæli, og uelegant så tenker jeg bare at

$$A = \int_{10\cos(72^\circ)}^{10\cos(54^\circ)}\sqrt{100-x^2} \mathrm dx + \int_{10\cos(36^\circ)}^{10\cos(18^\circ)} \sqrt{100-x^2} \mathrm dx = 10\pi \mathrm{cm}^2$$
Det var kanskje fort, men ikke gæli. Helt korrekt. Jeg synes integralregning er elegant - brukte det jeg også.
Men jeg funderer på om der ikke eksisterer en fiffig løsning, som ikke jeg har funnet ennå.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Aleks855
Rasch
Rasch
Innlegg: 6855
Registrert: 19/03-2011 15:19
Sted: Trondheim
Kontakt:

Jeg hadde vært tilfreds med å se en analytisk utregning av integralene. Jeg måtte gå den numeriske veien med Simpsons, og fant tilfeldigvis et tall som likna på $10\pi$, men det betyr jo at jeg EGENTLIG ikke har bevist at svaret er NØYAKTIG lik $10\pi$.
Bilde
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

Kvart av dei grøne felta kan delast opp i eit trapes og eit sirkelsegment på 18[tex]^{0}[/tex].

Areal (sirkelsegment ) = Areal( sirkelsektor 18[tex]^{0}[/tex] ) - areal( likebeina trekant ) = 100[tex]\pi[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{18}{360}[/tex] - [tex]\frac{2\cdot 10\cdot sin9^{0}\cdot 10\cdot cos9^{0}}{2}[/tex] = 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18[tex]^{0}[/tex]

Areal ( store trapes ) = [tex]\frac{10\cdot sin72^{0} + 10\cdot sin54^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex]( 10 cos54[tex]^{0}[/tex] - 10 cos72[tex]^{0}[/tex] ) = 50 ( sin72[tex]^{0}[/tex] + sin54[tex]^{0}[/tex] ) ( cos54[tex]^{0}[/tex] - cos72[tex]^{0}[/tex] )


Areal ( vesle trapes ) = [tex]\frac{10 sin 36^{0} + 10 sin 18^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex] ( 10 cos18[tex]^{0}[/tex] - 10 cos36[tex]^{0}[/tex] ) = 50( sin36[tex]^{0}[/tex] + sin18[tex]^{0}[/tex])( cos18[tex]^{0}[/tex] - cos36[tex]^{0}[/tex] )


Samla areal( grønt felt ) = Areal ( store trapes ) + Areal( vesle trapes ) + 2 [tex]\cdot[/tex] areal( sirkelsegment )

= 50 ( sin72 cos54 + sin54 cos54 - cos72 sin72 - sin54 cos72 + sin 36 cos18 + sin18 cos18 - sin36 cos36 - sin18 cos36 ) + 2 ( 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18 ) = ( kan relativt lett vise at uttrykket inne i den store parantesen er lik 2[tex]\cdot[/tex] sin18 ) = 10 [tex]\pi[/tex] ( s. s. v )
Mattebruker
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 458
Registrert: 26/02-2021 21:28

I mitt forrige innlegg stod det att å vise at

sin72 cos54 + sin54 cos54 - cos72 sin72 - sin54 cos72 + sin 36 cos18 + sin18 cos18 - sin36 cos36 - sin18 cos36 = 2[tex]\cdot[/tex] sin18

Overlet her med dette problemet til lesaren !
Janhaa
Boltzmann
Boltzmann
Innlegg: 8552
Registrert: 21/08-2006 03:46
Sted: Grenland

Mattebruker skrev: 20/03-2022 12:27 Kvart av dei grøne felta kan delast opp i eit trapes og eit sirkelsegment på 18[tex]^{0}[/tex].

Areal (sirkelsegment ) = Areal( sirkelsektor 18[tex]^{0}[/tex] ) - areal( likebeina trekant ) = 100[tex]\pi[/tex][tex]\cdot[/tex][tex]\frac{18}{360}[/tex] - [tex]\frac{2\cdot 10\cdot sin9^{0}\cdot 10\cdot cos9^{0}}{2}[/tex] = 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18[tex]^{0}[/tex]

Areal ( store trapes ) = [tex]\frac{10\cdot sin72^{0} + 10\cdot sin54^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex]( 10 cos54[tex]^{0}[/tex] - 10 cos72[tex]^{0}[/tex] ) = 50 ( sin72[tex]^{0}[/tex] + sin54[tex]^{0}[/tex] ) ( cos54[tex]^{0}[/tex] - cos72[tex]^{0}[/tex] )


Areal ( vesle trapes ) = [tex]\frac{10 sin 36^{0} + 10 sin 18^{0}}{2}[/tex] [tex]\cdot[/tex] ( 10 cos18[tex]^{0}[/tex] - 10 cos36[tex]^{0}[/tex] ) = 50( sin36[tex]^{0}[/tex] + sin18[tex]^{0}[/tex])( cos18[tex]^{0}[/tex] - cos36[tex]^{0}[/tex] )


Samla areal( grønt felt ) = Areal ( store trapes ) + Areal( vesle trapes ) + 2 [tex]\cdot[/tex] areal( sirkelsegment )

= 50 ( sin72 cos54 + sin54 cos54 - cos72 sin72 - sin54 cos72 + sin 36 cos18 + sin18 cos18 - sin36 cos36 - sin18 cos36 ) + 2 ( 5[tex]\pi[/tex] - 50 sin18 ) = ( kan relativt lett vise at uttrykket inne i den store parantesen er lik 2[tex]\cdot[/tex] sin18 ) = 10 [tex]\pi[/tex] ( s. s. v )
Takk for bidraget og fin og omstendelig løsning.
Allikevel trur jeg det finnes enda en mer fiffig og «enklere» løsning.
Jeg får ikke helt tak i den, men mener den har 1 viss relasjon til Keplers 2. lov.
Uten sammenlikning forøvrig.!

Bare kom med forslag til løsninger folkens. Gustav!?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Svar