matematikk.net

Finn alle funksjoner $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ slik at $$ f(\frac1x)\ge 1-\frac{\sqrt{f(x)f(\frac1x)}}{x}\ge x^2f(x)$$

Hint: Betrakt $f(\frac1x)\ge x^2 f(x)$ og la $x\to\frac1x$

Ved å substituere x med [tex]\frac{1}{x}[/tex] får vi [tex]f(x)\geq \frac{1}{x^{2}}f(\frac{1}{x})\Rightarrow x^{2}f(x)\geq f(\frac{1}{x})[/tex].
Dermed må ulikhetene i oppgaven være likheter.
Vi får da at [tex]1-\frac{\sqrt{f(x)f(\frac{1}{x}))}}{x}=1-\frac{\sqrt{f(x)x^{2}f(x)}}{x}=1-f(x)=x^{2}f(x)[/tex]
Til slutt kan vi løse likheten for f(x):
[tex]1-f(x)=x^{2}f(x)\Rightarrow (x^{2}+1)f(x)=1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}[/tex]
En rask test bekrefter at [tex]f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}[/tex] tilfredsstiller ulikheten.

Bra