Alle primtall $p,q$ som oppfyller dette er $\fbox{$(p,q)=(2,5)$}$.Lil_Flip39 skrev: ↑22/11-2024 20:02 Siden ingen har lagt ut ny oppgave, har jeg en her:
Find all prime numbers $p$ and $q$ such that
$$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$$
is a prime number.
$\textbf{Claim}$: $1+\dfrac{p^q-q^p}{p+q}=p$
$\textbf{Bevis}$: Vi kan vite at $p \neq q$ ettersom det ville gjort at uttrykket er 1, som ikke er et primtall. Vi setter
\begin{align*}
1+\frac{p^q-q^p}{p+q} &= r \\
p^q-q^p &=(r-1)(p+q) \\
\end{align*}
som modulo $p$ gir
\begin{align*}
(r-1)q &= q \\
rq &= 0 \\
r &= 0
\end{align*}
og siden $r$ er et primtall har vi $r=p$.
$\textbf{Claim}$: Det finnes ikke løsninger for $p>2$
$\textbf{Bevis}$: Vi antar $p>2$. Vi vet at
\begin{align}
p^q-q^p=(p-1)(p+q)
\end{align}
Refererer videre til denne likningen som $(1)$. Ser vi modulo $q$ finner vi at
\begin{align*}
p&=(p-1)p \\
p^2 &= 2p\\
p&= 2
\end{align*}
som vil si at $q|p-2$, og siden $p>2$ får vi at $q \leq p-2$.
Betrakter vi $(1)$ modulo $p-1$ får vi at
\begin{align*}
p^q-q^p &= 0 \\
q^p &= 1
\end{align*}
Vi skriver $v = \text{ord}_{p-1}(q)$. Vi vet at $v|\phi(p-1)$, og fra likningen over vet vi også at $v|p$. Siden $v\leq \phi(p-1) < p$, må vi ha at $v=1$, of vi får videre at
\begin{align*}
q = 1
\end{align*}
modulo $p-1$. Men dette betyr at $p-1|q-1$, som igjen betyr at $p-1\leq q-1$, men det er en motsigelse ettersom $q \leq p-2$. Dermed finnes ingen løsninger når $p>2$.
$\textbf{Claim}$: Eneste løsning er $(p,q)=(2,5)$
$\textbf{Bevis}$: Vi vet at om en løsning eksisterer må $p=2$, og setter vi det inn i $(1)$ får vi
\begin{align*}
2^q &= q^2 + q + 2
\end{align*}
Det er lett å se at $q=5$ oppfyller denne likningen, og at det er eneste løsning, ettersom venstresiden vokser eksponensielt, og høyresiden vokser kvadratisk.
