Induksjonsbevisoppgave for vgs-elever

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Induksjonsbevisoppgave for vgs-elever

Innlegg daofeishi » 06/03-2007 13:44

Denne oppgaven har blitt gitt i en tidligere opptakseksamen til matematikk ved Cambridge. Det er en grei oppgave å prøve seg på for vgs-elever som ønsker å øve seg på bevisføring:


Anta at

[tex]3 = \frac{2}{x_1} = x_1 + \frac{2}{x_2} = x_2 + \frac{2}{x_3} = ...[/tex]

Gjett et uttrykk for [tex]x_n[/tex] som en funksjon av n. Bevis at uttrykket ditt stemmer ved induksjon.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Maple » 06/03-2007 16:01

Er matematisk induksjon obligatorisk med matematikk siste året på videregående studieforberedende/allmennfag?

Hvis ikke, bør jo noen gi en leksjon (under "bevisskolen") hva ideen er og hvorfor og hvordan den virker.
Maple offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 96
Registrert: 23/02-2007 21:46

Re: Induksjonsbevisoppgave for vgs-elever

Innlegg sEirik » 06/03-2007 16:05

[tex]3 = \frac{2}{x_1} = x_1 + \frac{2}{x_2} = x_2 + \frac{2}{x_3} = ...[/tex]

Vi ser at

[tex]3 = x_{n-1} + \frac{2}{x_n}[/tex]

[tex]\frac{2}{x_n} = 3 - x_{n-1}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2}{3 - x_{n-1}}[/tex]

Vi ser også at

[tex]x_1 = \frac{2}{3}[/tex].

Det gir

[tex]x_2 = \frac{2}{3 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]x_3 = \frac{2}{3 - \frac{6}{7}} = \frac{14}{15}[/tex]

osv.

må stikke nå.
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg daofeishi » 06/03-2007 16:45

Maple skrev:Er matematisk induksjon obligatorisk med matematikk siste året på videregående studieforberedende/allmennfag?

Hvis ikke, bør jo noen gi en leksjon (under "bevisskolen") hva ideen er og hvorfor og hvordan den virker.


Skal se om jeg kan få skrevet en post om grunnleggende matematiske bevisteknikker senere. Jeg lurer på om ikke induksjonsbevis har blitt pensum i matematikk X?

sEirik: du er ikke langt unna induksjonshypotesen. Cambridge neste? ;D
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg kalleja » 06/03-2007 21:54

jeg ville satt pris på om noen kunne fortelle meg hvordan man utfører induksjon på enkle bevis, på en måte som en absolutt amatør innen dette kan forstå? :)
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Innlegg sEirik » 06/03-2007 22:33

Hehe, måtte stikke ganske kjapt der, skulle på snowboard i dag :)
(Har akkurat kjøpt meg et brett)

Har en anelse om et mønster her ja, evaluerer en til før jeg er sikker.

[tex]x_4 = \frac{2}{3 - \frac{14}{15}} = \frac{30}{31}[/tex]

Jupp. Observerer at nevner er på formen [tex]2^{(n+1)} - 1[/tex], og at teller er 1 mindre enn nevner. Antar derfor at

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}[/tex]

[tex]x_1 = \frac{2^2 - 2}{2^2 - 1} = \frac{2}{3}[/tex]

Hypotesen stemmer for n = 1.

Antar at hypotesen stemmer for m = n-1.
Vi har at

[tex]x_n = \frac{2}{3 - x_{m}}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2}{3 - \frac{2^{m+1}-2}{2^{m+1}-1}[/tex]

Hmm, dette blir tragisk.

[tex]x_n = \frac{2}{\frac{3(2^{m+1}-1) - 2^{m+1}+2}{2^{m+1}-1}[/tex]

[tex]x_n = \frac{ 2(2^{m+1}-1 )}{3(2^{m+1}-1) - 2^{m+1}+2}[/tex]

[tex]x_n = \frac{ 2(2^n-1 )}{3(2^n-1) - 2^n+2}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{3(2^n-1) - 2^n+2}[/tex]

[tex]3(2^n - 1) - 2^n + 2 = 3 \cdot 2^n - 2^n -1 = 2 \cdot 2^n - 1 = 2^{n+1}-1[/tex]

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}[/tex]

Bevist.
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg Magnus » 07/03-2007 01:33

kalleja skrev:jeg ville satt pris på om noen kunne fortelle meg hvordan man utfører induksjon på enkle bevis, på en måte som en absolutt amatør innen dette kan forstå? :)


Kan jo sjekke http://realisten.com/artikkel.php?id=666
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg kalleja » 07/03-2007 15:34

å veldig fin artikkel :) tror jeg forstår basic'en nå.
kalleja offline
Ramanujan
Ramanujan
Brukerens avatar
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 01:57
Bosted: Trondheim

Bevis.

Innlegg administrator » 07/03-2007 21:07

Det vil komme mer på bevis etter hvert. Foreløpig har vi dette:

http://www.matematikk.net/klassetrinn/2MX/bevis.php

Mvh
Kenneth
administrator offline
Sjef
Sjef
Innlegg: 871
Registrert: 25/09-2002 20:23
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 2 gjester