Induksjonsbevisoppgave for vgs-elever

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Denne oppgaven har blitt gitt i en tidligere opptakseksamen til matematikk ved Cambridge. Det er en grei oppgave å prøve seg på for vgs-elever som ønsker å øve seg på bevisføring:


Anta at

[tex]3 = \frac{2}{x_1} = x_1 + \frac{2}{x_2} = x_2 + \frac{2}{x_3} = ...[/tex]

Gjett et uttrykk for [tex]x_n[/tex] som en funksjon av n. Bevis at uttrykket ditt stemmer ved induksjon.
Maple
Cayley
Cayley
Innlegg: 96
Registrert: 23/02-2007 21:46

Er matematisk induksjon obligatorisk med matematikk siste året på videregående studieforberedende/allmennfag?

Hvis ikke, bør jo noen gi en leksjon (under "bevisskolen") hva ideen er og hvorfor og hvordan den virker.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

[tex]3 = \frac{2}{x_1} = x_1 + \frac{2}{x_2} = x_2 + \frac{2}{x_3} = ...[/tex]

Vi ser at

[tex]3 = x_{n-1} + \frac{2}{x_n}[/tex]

[tex]\frac{2}{x_n} = 3 - x_{n-1}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2}{3 - x_{n-1}}[/tex]

Vi ser også at

[tex]x_1 = \frac{2}{3}[/tex].

Det gir

[tex]x_2 = \frac{2}{3 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{7}[/tex]

[tex]x_3 = \frac{2}{3 - \frac{6}{7}} = \frac{14}{15}[/tex]

osv.

må stikke nå.
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Maple skrev:Er matematisk induksjon obligatorisk med matematikk siste året på videregående studieforberedende/allmennfag?

Hvis ikke, bør jo noen gi en leksjon (under "bevisskolen") hva ideen er og hvorfor og hvordan den virker.
Skal se om jeg kan få skrevet en post om grunnleggende matematiske bevisteknikker senere. Jeg lurer på om ikke induksjonsbevis har blitt pensum i matematikk X?

sEirik: du er ikke langt unna induksjonshypotesen. Cambridge neste? ;D
kalleja
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 02:57
Sted: Trondheim

jeg ville satt pris på om noen kunne fortelle meg hvordan man utfører induksjon på enkle bevis, på en måte som en absolutt amatør innen dette kan forstå? :)
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Hehe, måtte stikke ganske kjapt der, skulle på snowboard i dag :)
(Har akkurat kjøpt meg et brett)

Har en anelse om et mønster her ja, evaluerer en til før jeg er sikker.

[tex]x_4 = \frac{2}{3 - \frac{14}{15}} = \frac{30}{31}[/tex]

Jupp. Observerer at nevner er på formen [tex]2^{(n+1)} - 1[/tex], og at teller er 1 mindre enn nevner. Antar derfor at

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}[/tex]

[tex]x_1 = \frac{2^2 - 2}{2^2 - 1} = \frac{2}{3}[/tex]

Hypotesen stemmer for n = 1.

Antar at hypotesen stemmer for m = n-1.
Vi har at

[tex]x_n = \frac{2}{3 - x_{m}}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2}{3 - \frac{2^{m+1}-2}{2^{m+1}-1}[/tex]

Hmm, dette blir tragisk.

[tex]x_n = \frac{2}{\frac{3(2^{m+1}-1) - 2^{m+1}+2}{2^{m+1}-1}[/tex]

[tex]x_n = \frac{ 2(2^{m+1}-1 )}{3(2^{m+1}-1) - 2^{m+1}+2}[/tex]

[tex]x_n = \frac{ 2(2^n-1 )}{3(2^n-1) - 2^n+2}[/tex]

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{3(2^n-1) - 2^n+2}[/tex]

[tex]3(2^n - 1) - 2^n + 2 = 3 \cdot 2^n - 2^n -1 = 2 \cdot 2^n - 1 = 2^{n+1}-1[/tex]

[tex]x_n = \frac{2^{n+1}-2}{2^{n+1}-1}[/tex]

Bevist.
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

kalleja skrev:jeg ville satt pris på om noen kunne fortelle meg hvordan man utfører induksjon på enkle bevis, på en måte som en absolutt amatør innen dette kan forstå? :)
Kan jo sjekke http://realisten.com/artikkel.php?id=666
kalleja
Ramanujan
Ramanujan
Innlegg: 292
Registrert: 23/04-2006 02:57
Sted: Trondheim

å veldig fin artikkel :) tror jeg forstår basic'en nå.
administrator
Sjef
Sjef
Innlegg: 883
Registrert: 25/09-2002 21:23
Sted: Sarpsborg

Det vil komme mer på bevis etter hvert. Foreløpig har vi dette:

http://www.matematikk.net/klassetrinn/2MX/bevis.php

Mvh
Kenneth
Svar