Bevis ved kontradiksjon - vist med et eksempel
Lagt inn: 07/03-2007 21:28
I bevistypen bevis ved kontradiksjon, også kalt "Reductio ad absurdum". Prinsippet bak et slikt bevis er at vi gjør nøyaktig én antakelse. Deretter ser vi hva denne antakelsen fører til, og vi ender opp med en selvmotsigelse som ikke kan forklares på annen måte enn at den opprinnelige antakelsen er feil, derfor vil det motsatte av antakelsen være riktig. Med denne teknikken kan man bevise mye rart, blant annet at det finnes uendelig mange primtall - hvis man antok at det bare fantes endelig mange, ville man få en selvmotsigelse, derfor må det nødvendigvis finnes uendelig mange primtall.
Et enkelt, hverdagslig eksempel på et resonnement ved kontradiksjon:
1) Vi antar at jeg er kongen av Nebraska.
2) Det medfører at jeg kan bestemme alt jeg vil der, også hva staten skal hete.
3) Men jeg ville aldri vært så dum at jeg kalte en plass for Nebraska, æsj for et teit navn. Jeg ville ha kalt staten Monarkiet Bondeland.
4) Siden Nebraska nå engang heter Nebraska, og det umulig kunne hett det hvis jeg var konge der, betyr det at den opprinnelige antakelsen (1) er feil. Jeg er altså dessverre ikke kongen av Nebraska.
Kanskje et litt barnslig eksempel, men det viser tankegangen på en enkel måte.
Nå skal vi bruke et kontradiksjonsbevis til å vise at [tex]\sqrt{2}[/tex]er et irrasjonelt tall. Beviset bygger på det faktum at [tex]a^2[/tex] er et oddetall => [tex]a[/tex] er et oddetall, og [tex]a^2[/tex]er et partall => [/tex]a[/tex] er et oddetall. Dette kan man bevise ved å bruke definisjonen på et partall, som er 2n, der n er et heltall, og et oddetall er 2n-1, der n er et heltall. Til beviset:
(1) Vi antar at [tex]\sqrt{2}[/tex] er et rasjonelt tall.
(2) Det betyr at det må finnes to naturlige tall a og b, slik at [tex]\frac{a}{b} = \sqrt{2}[/tex]. Dette har vi fra definisjonen av et rasjonelt tall.
(3) Brøken er forkortet så mye som det går an, slik at a og b ikke har noen felles faktor.
Vi kvadrerer begge sider, og får
[tex]\frac{a^2}{b^2} = 2[/tex]
(4) [tex]a^2 = 2b^2[/tex]
Vi ser at [tex]2b^2[/tex] er et partall, siden 2 er en faktor. Da må også [tex]a^2[/tex] være et partall;
(5) Da må også a være et partall.
(6) Siden a er et partall, finnes det et heltall n slik at a = 2n. Vi setter inn:
[tex](2n)^2 = 2b^2[/tex]
[tex]4n^2 = 2b^2[/tex]
[tex]2n^2 = b^2[/tex]
(7) Siden [tex]2n^2[/tex] helt klart er et partall, er også [tex]b^2[/tex] et partall,
(8) Da er også [tex]b[/tex] et partall.
(9) Men (5) og (8) sier at både a og b er partall, det betyr at brøken faktisk kan forkortes mer. Men dette strider med (3), altså har vi fått en logisk kontradiksjon - en selvmotsigelse. Vi har bare gjort én antakelse, og det er (1) - at [tex]\sqrt{2}[/tex] er rasjonelt. Det betyr at antakelsen er feil, ergo er [tex]\sqrt{2}[/tex] et irrasjonelt tall.
Til slutt i bevis er det vanlig å avslutte med Q.E.D., som er latin og betyr "det som skulle bevises", eller et firkant-symbol. "∎"
Et enkelt, hverdagslig eksempel på et resonnement ved kontradiksjon:
1) Vi antar at jeg er kongen av Nebraska.
2) Det medfører at jeg kan bestemme alt jeg vil der, også hva staten skal hete.
3) Men jeg ville aldri vært så dum at jeg kalte en plass for Nebraska, æsj for et teit navn. Jeg ville ha kalt staten Monarkiet Bondeland.
4) Siden Nebraska nå engang heter Nebraska, og det umulig kunne hett det hvis jeg var konge der, betyr det at den opprinnelige antakelsen (1) er feil. Jeg er altså dessverre ikke kongen av Nebraska.
Kanskje et litt barnslig eksempel, men det viser tankegangen på en enkel måte.
Nå skal vi bruke et kontradiksjonsbevis til å vise at [tex]\sqrt{2}[/tex]er et irrasjonelt tall. Beviset bygger på det faktum at [tex]a^2[/tex] er et oddetall => [tex]a[/tex] er et oddetall, og [tex]a^2[/tex]er et partall => [/tex]a[/tex] er et oddetall. Dette kan man bevise ved å bruke definisjonen på et partall, som er 2n, der n er et heltall, og et oddetall er 2n-1, der n er et heltall. Til beviset:
(1) Vi antar at [tex]\sqrt{2}[/tex] er et rasjonelt tall.
(2) Det betyr at det må finnes to naturlige tall a og b, slik at [tex]\frac{a}{b} = \sqrt{2}[/tex]. Dette har vi fra definisjonen av et rasjonelt tall.
(3) Brøken er forkortet så mye som det går an, slik at a og b ikke har noen felles faktor.
Vi kvadrerer begge sider, og får
[tex]\frac{a^2}{b^2} = 2[/tex]
(4) [tex]a^2 = 2b^2[/tex]
Vi ser at [tex]2b^2[/tex] er et partall, siden 2 er en faktor. Da må også [tex]a^2[/tex] være et partall;
(5) Da må også a være et partall.
(6) Siden a er et partall, finnes det et heltall n slik at a = 2n. Vi setter inn:
[tex](2n)^2 = 2b^2[/tex]
[tex]4n^2 = 2b^2[/tex]
[tex]2n^2 = b^2[/tex]
(7) Siden [tex]2n^2[/tex] helt klart er et partall, er også [tex]b^2[/tex] et partall,
(8) Da er også [tex]b[/tex] et partall.
(9) Men (5) og (8) sier at både a og b er partall, det betyr at brøken faktisk kan forkortes mer. Men dette strider med (3), altså har vi fått en logisk kontradiksjon - en selvmotsigelse. Vi har bare gjort én antakelse, og det er (1) - at [tex]\sqrt{2}[/tex] er rasjonelt. Det betyr at antakelsen er feil, ergo er [tex]\sqrt{2}[/tex] et irrasjonelt tall.
Til slutt i bevis er det vanlig å avslutte med Q.E.D., som er latin og betyr "det som skulle bevises", eller et firkant-symbol. "∎"