Potensderivasjon

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Potensderivasjon

Innlegg administrator » 10/03-2007 23:08

En liten utfordring i helgen:

Dersom [tex]f(x) = x^n[/tex] så er [tex]f^,(x) = nx^{n-1}[/tex]

Greier noen beviset ?

(jeg vet at dette ligger langt under nivået til mange her, men dette er også en side for ungdomsskole og videregåede, men det er selvsagt lov for alle å bidra.)

Fortsatt god helg.
Mvh
Kenneth
administrator offline
Sjef
Sjef
Innlegg: 871
Registrert: 25/09-2002 20:23
Bosted: Oslo

Innlegg sEirik » 10/03-2007 23:20

Beviset gjelder for alle positive x og alle reelle n.

[tex]f(x) = x^n[/tex]

Pr. definisjon er [tex]x = e^{\ln (x)}[/tex]

[tex]f(x) = (e^{\ln (x)})^n = e^{\ln (x) \cdot n}[/tex]

Vi har også at

[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} e^u = e^u \cdot \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x}[/tex]

[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x) = e^{\ln (x) \cdot n} \cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (\ln (x) \cdot n)[/tex]

Vi vet at

[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (\ln (x) \cdot n) = \frac{n}{x}[/tex]

Altså er

[tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} f(x) = e^{\ln (x) \cdot n} \cdot \frac{n}{x} = x^n \cdot \frac{n}{x} = nx^{n-1}[/tex]

Q.E.D.

Vi vet at x også kan være negativ så lenge n er et naturlig tall. Denne delen av beviset kan gjøres ved induksjon og produktsetningen. Hvem vil prøve seg på det?
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg Magnus » 10/03-2007 23:48

Tja, sEirik. Du bruker at den deriverte av [tex]e^x[/tex] er kjent. Klarer du å utlede denne?
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg sEirik » 11/03-2007 01:41

Tja, e er definert slik at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex]?
Må kanskje vises at det eksisterer et slikt tall, men nå er det litt for sent til at jeg gidder det.
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg Magnus » 11/03-2007 02:38

Nja... Holder å ta utgangspunkt i én av definisjonene på e.
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg bn » 13/03-2007 14:58

[tex]f^,(x) = \lim_{d \to 0} \frac{f(x+d) - f(x)}{d} = \lim_{d \to 0} \frac{(x+d)^n - x^n}{d} = \lim_{d \to 0} \frac{x^n + nx^{n-1}d + (...)d^2 - x^n}{d} \\ = \lim_{d \to 0} \frac{nx^{n-1}d + (...)d^2}{d} = nx^{n-1} + \lim_{d \to 0} (...)d = nx^{n-1}[/tex]

der uttrykket i (...) er resten av (x+d)^n. Ved binomialkoeffisientutvidelsen er det en sum hvor alle leddene er delelig på d^2 (minst), som jeg valgte å trekke ut.
bn offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 13/03-2007 14:29
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 1 gjest