1+1=2
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
http://mathforum.org/library/drmath/view/51551.html
The proof starts from the Peano Postulates, which define the natural
numbers N. N is the smallest set satisfying these postulates:
P1. 1 is in N.
P2. If x is in N, then its "successor" x' is in N.
P3. There is no x such that x' = 1.
P4. If x isn't 1, then there is a y in N such that y' = x.
P5. If S is a subset of N, 1 is in S, and the implication
(x in S => x' in S) holds, then S = N.
Then you have to define addition recursively:
Def: Let a and b be in N. If b = 1, then define a + b = a'
(using P1 and P2). If b isn't 1, then let c' = b, with c in N
(using P4), and define a + b = (a + c)'.
Then you have to define 2:
Def: 2 = 1'
2 is in N by P1, P2, and the definition of 2.
Theorem: 1 + 1 = 2
Proof: Use the first part of the definition of + with a = b = 1.
Then 1 + 1 = 1' = 2 Q.E.D.
Note: There is an alternate formulation of the Peano Postulates which
replaces 1 with 0 in P1, P3, P4, and P5. Then you have to change the
definition of addition to this:
Def: Let a and b be in N. If b = 0, then define a + b = a.
If b isn't 0, then let c' = b, with c in N, and define
a + b = (a + c)'.
You also have to define 1 = 0', and 2 = 1'. Then the proof of the
Theorem above is a little different:
Proof: Use the second part of the definition of + first:
1 + 1 = (1 + 0)'
Now use the first part of the definition of + on the sum in
parentheses: 1 + 1 = (1)' = 1' = 2 Q.E.D.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det har nok noen natteranglere her på forumet også.Zoiros skrev:Noen matematikere har bare alt for masse tid på henda.
I NATT: Spillte poker! VANT TUR TIL LASVEGAS WSOP!!! verdi 11000$!mrcreosote skrev:Det har nok noen natteranglere her på forumet også.Zoiros skrev:Noen matematikere har bare alt for masse tid på henda.
http://www.partypoker.com/tournaments/wsop07/
"Sove kan vi gjøre når vi er død!"Magnus skrev:Hah. Har ikke tid til søvn i disse eksamensdager; pmrcreosote skrev:Det har nok noen natteranglere her på forumet også.Zoiros skrev:Noen matematikere har bare alt for masse tid på henda.
Jeg syns det er veldig spennende med slike ting som dette. Bevisføring av grunnleggende matematisk innsikt.
Akkurat det å bevise 1+1=2 har jeg ikke tenkt så mye over. Men om noen har lest i boka til Tom Lindstrøm, så snakker han om 10 aksiomer for reell analyse. Syns disse er greie utgangspunkt.
Men en ting jeg gjerne ville ha forstått, er hvorfor integral-regning virker som den gjør. Hvorfor man, om man følger reglene for slik regning, kan finne arealet under en kurve. Jeg syns det er så rart at man får riktig svar, for det er jo kun i endepunktene man setter inn verdier - ikke inne i definisjonsområdet til kurven. Skulle tro at man måtte putte inn en og en verdi, slik man ma gjøre med Riemann-integraler (altså en rekke som "fyller opp" kurven). Jeg skjønner kort og godt ikke hvorfor
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^n{a_i}}=\int_a^b{f(x)\,\mathrm{d}x}[/tex]
der [tex]a_i = f(x)[/tex] for [tex]\frac{i(b-a)}{n}=x[/tex].
Det står jo mange grunner/mye motivasjon i en lærebok i analyse om dette, men jeg mener at jeg ikke har sett noe faktisk bevis...
Akkurat det å bevise 1+1=2 har jeg ikke tenkt så mye over. Men om noen har lest i boka til Tom Lindstrøm, så snakker han om 10 aksiomer for reell analyse. Syns disse er greie utgangspunkt.
Men en ting jeg gjerne ville ha forstått, er hvorfor integral-regning virker som den gjør. Hvorfor man, om man følger reglene for slik regning, kan finne arealet under en kurve. Jeg syns det er så rart at man får riktig svar, for det er jo kun i endepunktene man setter inn verdier - ikke inne i definisjonsområdet til kurven. Skulle tro at man måtte putte inn en og en verdi, slik man ma gjøre med Riemann-integraler (altså en rekke som "fyller opp" kurven). Jeg skjønner kort og godt ikke hvorfor
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^n{a_i}}=\int_a^b{f(x)\,\mathrm{d}x}[/tex]
der [tex]a_i = f(x)[/tex] for [tex]\frac{i(b-a)}{n}=x[/tex].
Det står jo mange grunner/mye motivasjon i en lærebok i analyse om dette, men jeg mener at jeg ikke har sett noe faktisk bevis...
I beviset anvender man seg sterkt av partisjonering og "epsilon/delta".
http://www.math.sc.edu/~sharpley/math554_s96/554_9/
http://www.math.sc.edu/~sharpley/math554_s96/554_9/
If f is a bounded function defined on a closed, bounded interval [a, b] and f is continuous except at countably many points, then f is Riemann integrable.
The converse is also true: If f is a bounded function defined on a closed, bounded interval [a, b] and f is Riemann integrable, then f is continuous on [a, b] except possibly at countably many points
Tom Lindstrøm har jeg hatt i mat1110 og hadde boka hans, Kalkulus, i mat1100.Maple skrev:Jeg syns det er veldig spennende med slike ting som dette. Bevisføring av grunnleggende matematisk innsikt.
Akkurat det å bevise 1+1=2 har jeg ikke tenkt så mye over. Men om noen har lest i boka til Tom Lindstrøm, så snakker han om 10 aksiomer for reell analyse. Syns disse er greie utgangspunkt.
Men en ting jeg gjerne ville ha forstått, er hvorfor integral-regning virker som den gjør. Hvorfor man, om man følger reglene for slik regning, kan finne arealet under en kurve. Jeg syns det er så rart at man får riktig svar, for det er jo kun i endepunktene man setter inn verdier - ikke inne i definisjonsområdet til kurven. Skulle tro at man måtte putte inn en og en verdi, slik man ma gjøre med Riemann-integraler (altså en rekke som "fyller opp" kurven). Jeg skjønner kort og godt ikke hvorfor
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^n{a_i}}=\int_a^b{f(x)\,\mathrm{d}x}[/tex]
der [tex]a_i = f(x)[/tex] for [tex]\frac{i(b-a)}{n}=x[/tex].
Det står jo mange grunner/mye motivasjon i en lærebok i analyse om dette, men jeg mener at jeg ikke har sett noe faktisk bevis...
Har utrolig "kul" humor. Den er så overlagt tørr at det blir utrolig morsomt. 
Det er nettopp det som ER analysens fundamentalteorem, at det å beregne grenseverdien for en partisjon hvis ledd går mot uendelig kan regnes ut på en ekstremt triviell måte (nemlig som differansen av en anti-deriverts funksjonsverdier i endepunktene)!Maple skrev:Jeg syns det er veldig spennende med slike ting som dette. Bevisføring av grunnleggende matematisk innsikt.
Akkurat det å bevise 1+1=2 har jeg ikke tenkt så mye over. Men om noen har lest i boka til Tom Lindstrøm, så snakker han om 10 aksiomer for reell analyse. Syns disse er greie utgangspunkt.
Men en ting jeg gjerne ville ha forstått, er hvorfor integral-regning virker som den gjør. Hvorfor man, om man følger reglene for slik regning, kan finne arealet under en kurve. Jeg syns det er så rart at man får riktig svar, for det er jo kun i endepunktene man setter inn verdier - ikke inne i definisjonsområdet til kurven. Skulle tro at man måtte putte inn en og en verdi, slik man ma gjøre med Riemann-integraler (altså en rekke som "fyller opp" kurven). Jeg skjønner kort og godt ikke hvorfor
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^n{a_i}}=\int_a^b{f(x)\,\mathrm{d}x}[/tex]
der [tex]a_i = f(x)[/tex] for [tex]\frac{i(b-a)}{n}=x[/tex].
At dette er så trivielt, skyldes at middelverdi-setningen garanterer oss at de ulike valg av anti-derivert til en funksjon bare avviker fra hverandre med en konstant. Derfor er det irrelevant hvilken anti-derivert du greier å finne, siden differansen mellom de to funksjonsverdier vil være konstant, uavhengig av anti-derivert.
En annen begrunnelse for dette (integralregningen altså) som jeg selv syntes var god, er ved å benytte Riemann-summer og teleskoprekker. Sjekk det ut i denne videoen her:
http://midnighttutor.com/fundamental_theorem_part2.html
http://midnighttutor.com/fundamental_theorem_part2.html
Prøver meg med en liten forklaring:Maple skrev:Men en ting jeg gjerne ville ha forstått, er hvorfor integral-regning virker som den gjør. Hvorfor man, om man følger reglene for slik regning, kan finne arealet under en kurve. Jeg syns det er så rart at man får riktig svar, for det er jo kun i endepunktene man setter inn verdier - ikke inne i definisjonsområdet til kurven. Skulle tro at man måtte putte inn en og en verdi, slik man ma gjøre med Riemann-integraler (altså en rekke som "fyller opp" kurven). Jeg skjønner kort og godt ikke hvorfor
Den integrerte funksjonen har å gjøre med mye areal man "fyller på" fra ett punkt til ett annet i orginalfunksjonen.