Oppgave i grunnleggende tallteori

[daofeishi]

Vi holder nå for fullt på med eksamenslesing på skolen min, og jeg kom over en morsom bevisoppgave i tallteori i et av de gamle eksamenssettene våre. Den lyder slik:

Bevis at dersom p er et primtall større enn 2, og p | x[sup]p[/sup]+y[sup]p[/sup], impliserer det at p[sup]2[/sup] | x[sup]p[/sup]+y[sup]p[/sup].

Oppgaven gir 13 poeng, dette settet varer 90 min og gir 90 poeng - så prøv å løse oppgaven innen 13 minutter.

[Ariane]

Er det vanlig å få om bevistyper på 2mx eller 3mx eksamen. Jeg hospiterer i en klasse hvor læreren har ikke lagt vekt på det, han hoppet rett og slett over det hele.

[daofeishi]

Dette er ikke 3mx, men "international baccalaureate further mathematics," der en stor del av kurset innebærer bevisføring.

[Ariane]

For all del du må bare fortsetta Blei bare litt nyfiken

[daofeishi]

Et godt spørsmål å stille seg, det der, Ariane. Jeg synes det er veldig synd at 3MX-kurset ikke vektlegger bevisføring - det skal jo være det mest rigorøse matematiske kurset i norsk videregående skole.

[daofeishi]

Hint:

Fermats lille teorem

[Magnus]

Skipper noe hvis noen har lyst til å prøve litt selv.

[tex]x+y \equiv 0 \pmod {p}\Rightarrow y = np -x[/tex]

[tex]x^p + y^p = x^p + (np -x)^p[/tex]

Så er vi veldig fort der: )

[daofeishi]

Jepp - det var min approach og. (Lurer på når vi får funksjon til å skjule svar i forumet)

[Charlatan]

hva betyr [tex]p | x^p + y^p[/tex] ?

sorry at jeg graver opp gamle tråder...

[ingentingg]

Det betyr at p deler x^p + y^2.
Altså at:
[tex]\frac{x^p+y^p}p[/tex]
Har en heltallig løsning.