﻿ matematikk.net • Se emne - 0!

## 0!

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

### 0!

Hvorfor er 0! = 1 ??
toget offline
Cayley Innlegg: 67
Registrert: 23/09-2006 16:13

Det er bare definert sånn - det viser seg å være veldig praktisk å definere 0! = 1.
Siden $$n! = 1 \cdot n!$$, og 0! egentlig ikke består av noen faktorer i det hele tatt, kan vi si at $$0! = 1 \cdot 0! = 1$$.
sEirik offline
Guru  Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

I tillegg har vi at det stemmer godt overens med gammafunksjonen som kan ses på som en utvidelse av fakultetsbegrepet så vi kan definere for eksempel "0.5!".

Den er definert slik: $$\Gamma(x+1) = \int_0^\infty e^{-t}t^x dt$$

Det viser seg at $$n! = \Gamma(n+1)$$, og da passer det godt å si $$0! = \Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = 1$$

Se også på binomialkoeffisienten $${n\choose0} = {n\choose n} = \frac{n!}{n!0!}$$. Dette bør helst være 1 fra våre intuitive oppfatning av binomialkoeffisienter, dessuten gjør det Pascals trekant pen. Dette kan bare oppnås om 0!=1.

Et godt spørsmål, toget, fortsett å undre på slikt!
mrcreosote offline
Guru  Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Legger meg selvom mrcreosote forklarer godt.

Date: 03/18/98 at 16:39:40
From: Doctor Sam
Subject: Re: 0 factorial = 1

Denise,

You are correct that 0! = 1 for reasons that are similar to why
x^0 = 1. Both are defined that way. But there are reasons for these
definitions; they are not arbitrary.

You cannot reason that x^0 = 1 by thinking of the meaning of powers as
"repeated multiplications" because you cannot multiply x zero times.
Similarly, you cannot reason out 0! just in terms of the meaning of
factorial because you cannot multiply all the numbers from zero down
to 1 to get 1.

Mathematicians *define* x^0 = 1 in order to make the laws of exponents
work even when the exponents can no longer be thought of as repeated
multiplication. For example, (x^3)(x^5) = x^8 because you can add
exponents. In the same way (x^0)(x^2) should be equal to x^2 by
adding exponents. But that means that x^0 must be 1 because when you
multiply x^2 by it, the result is still x^2. Only x^0 = 1 makes sense
here.

In the same way, when thinking about combinations we can derive a
formula for "the number of ways of choosing k things from a collection
of n things." The formula to count out such problems is n!/k!(n-k)!.
For example, the number of handshakes that occur when everybody in a
group of 5 people shakes hands can be computed using n = 5 (five
people) and k = 2 (2 people per handshake) in this formula. (So the
answer is 5!/(2! 3!) = 10).

Now suppose that there are 2 people and "everybody shakes hands with
everybody else." Obviously there is only one handshake. But what
happens if we put n = 2 (2 people) and k = 2 (2 people per handshake)
in the formula? We get 2! / (2! 0!). This is 2/(2 x), where x is the
value of 0!. The fraction reduces to 1/x, which must equal 1 since
there is only 1 handshake. The only value of 0! that makes sense here
is 0! = 1.

And so we define 0! = 1.

I hope that helps.

-Doctor Sam, The Math Forum

http://mathforum.org/library/drmath/view/57128.html
Magnus offline
Guru Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Også er det jo faktisk slik at $$\lim_{n \rightarrow 0^+}{n^n} = 1$$. Det kan lett bevises om du har litt kjennskap til hvordan du skal regne med utrykk f.eks. på formen $$0^0$$.

Jeg mener dette har relevans, fordi om man som utgangspunkt ser på et (tenkt) tilfelle der vi har $$0.5!$$, så må jo dette leses som 0.5 ganget 0.5 ganger. Altså $$\sqrt{0.5}$$.

Og om tallet går mot null, så kan det jo skrives som nettopp $$\lim_{n \rightarrow 0^+}{n^n}$$.

Personlig syns jeg dette er en veldig logisk måte å se det på.

Altså: 0! betyr "0 ganget 0 ganger", noe som er $$0^0$$, som igjen eksisterer som en grenseverdi på 1, om vi beveger oss nedover (vi holder oss til positive tall).
Maple offline
Cayley Innlegg: 96
Registrert: 23/02-2007 21:46

Litt skeptisk til den 0.5! argumentet ditt ..
Magnus offline
Guru Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Har ikke hatt noe særlig om ikke heltallige fakultet.
Men ved å bruke gamma funksjonen får vi $$0.5!= \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

http://en.wikipedia.org/wiki/Factorial#Non-integer_factorials
Those who know a lot, don't know more about how much they know than those who know less.
KjetilEn offline
Dirichlet Innlegg: 191
Registrert: 28/02-2007 17:30
Bosted: Oslo

Magnus skrev:Litt skeptisk til den 0.5! argumentet ditt ..

Det er jeg og.
Maple offline
Cayley Innlegg: 96
Registrert: 23/02-2007 21:46

$$\lim_{n \to 0} n^n =1$$
er vel og bra hvis eksponenten både grunntallet og eksponenten nærmer seg 0 med samme hastighet. Hva med når
$$\lim_{n \to 0} \lim_{k \to 0} n^k$$ hvor n og k nærmer seg 0 med forskjellig hastighet. Jeg tror det er derfor $$0^0$$ er udefinert.
Charlatan offline
Guru Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Jeg mistenker at $$0^0$$ er udefinert fordi

$$\lim_{x\to0} 0^x = 0$$

$$\lim_{x\to0} x^0 = 1$$

Blant annet fordi den kan omregnes til

$$\frac{0}{0}$$

$$a \times 0 = b \times 0$$

$$a = b \times \frac{0}{0}$$

og fordi

$$\frac{a}{b} = \frac{ac}{bc}$$

for c er lik null så blir alt lik alt (som selvfølgelig er et lite problem).

Det er også (og kanskje mest) fordi det har en haug med forskjellige grenser som leder opp til 0/0 men gir helt forskjellige svar.
Definisjonen av derivasjon er en av dem (hvis ikke jeg tar helt feil).
=) offline
Descartes Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 21:41

### Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 70 gjester