Bevisbekreftelse - normal undergruppe
Lagt inn: 02/06-2007 12:01
[tex]S_n[/tex] = gruppen av alle permutasjoner av n elementer.
[tex]A_n[/tex] = gruppen av alle jevne permutasjoner av n elementer.
[tex]O_n[/tex] = gruppen av alle odde permutasjoner av n elementer.
Jeg skal vise at (1) [tex]A_n[/tex] er en normal undergruppe av [tex]S_n[/tex], og (2) finne hvilken gruppe kvotientgruppen [tex]S_n/A_n[/tex] danner en isomorfi med.
1) Det første vi må vise, er at [tex]A_n[/tex] har halvparten så mange elementer som [tex]S_n[/tex]. Dette gjør vi ved å lage en injektiv funksjon fra A_n på O_n.
La [tex]\varrho[/tex] være en transposisjon i S_n. Definer funksjonen [tex]\phi_{\varrho}:A_n\rightarrow O_n[/tex] ved [tex]\phi_{\varrho}(\sigma)[/tex]=[tex]\varrho\sigma[/tex]. Anta [tex]\phi_{\varrho}(\sigma)[/tex]=[tex]\phi_{\varrho}(\tau)[/tex], som gir [tex]\varrho\sigma[/tex]=[tex]\varrho\tau[/tex], som igjen gir [tex]\sigma=\tau[/tex]. Det viser at [tex]\phi_{\varrho}[/tex] er injektiv.
La [tex]u\in O_n[/tex], da er [tex]{\varrho}^{-1}u\in A_n[/tex], og [tex]\phi_{\varrho}(u{\varrho}^{-1}) = \varrho{\varrho}^{-1}u = u[/tex], som viser at [tex]\phi_{\varrho}[/tex] er på [tex]O_n[/tex].
Da trekker vi den slutning at A_n har like mange elementer som O_n. Siden ingen permutasjoner i S_n kan skrives som både et jevnt antall transposisjoner og et odde antall transposisjoner, ser vi at A_n og O_n til sammen utgjør S_n.
Siden [tex]A_n[/tex] inneholder halvparten så mange elementer som [tex]S_n[/tex], vil , [tex]xA_n[/tex](venstre coset) inneholde alle elementer i [tex]S_n[/tex] som ikke er i [tex]A_n[/tex], men det vil også [tex]A_nx[/tex](høyre coset), så [tex]A_nx=xA_n[/tex], og dermed er [tex]A_n[/tex] en normal undergruppe av [tex]S_n[/tex].
2) Kvotientgruppen [tex]S_n/A_n[/tex] har dermed to elementer, {[tex]{A_n, qA_n}[/tex]}, hvor q er en odde permutasjon i S_n. Følgelig ser vi at [tex]S_n/A_n[/tex] danner en isomorfi med [tex]\mathbb{Z}_2[/tex].
Holder beviset vann?
[tex]A_n[/tex] = gruppen av alle jevne permutasjoner av n elementer.
[tex]O_n[/tex] = gruppen av alle odde permutasjoner av n elementer.
Jeg skal vise at (1) [tex]A_n[/tex] er en normal undergruppe av [tex]S_n[/tex], og (2) finne hvilken gruppe kvotientgruppen [tex]S_n/A_n[/tex] danner en isomorfi med.
1) Det første vi må vise, er at [tex]A_n[/tex] har halvparten så mange elementer som [tex]S_n[/tex]. Dette gjør vi ved å lage en injektiv funksjon fra A_n på O_n.
La [tex]\varrho[/tex] være en transposisjon i S_n. Definer funksjonen [tex]\phi_{\varrho}:A_n\rightarrow O_n[/tex] ved [tex]\phi_{\varrho}(\sigma)[/tex]=[tex]\varrho\sigma[/tex]. Anta [tex]\phi_{\varrho}(\sigma)[/tex]=[tex]\phi_{\varrho}(\tau)[/tex], som gir [tex]\varrho\sigma[/tex]=[tex]\varrho\tau[/tex], som igjen gir [tex]\sigma=\tau[/tex]. Det viser at [tex]\phi_{\varrho}[/tex] er injektiv.
La [tex]u\in O_n[/tex], da er [tex]{\varrho}^{-1}u\in A_n[/tex], og [tex]\phi_{\varrho}(u{\varrho}^{-1}) = \varrho{\varrho}^{-1}u = u[/tex], som viser at [tex]\phi_{\varrho}[/tex] er på [tex]O_n[/tex].
Da trekker vi den slutning at A_n har like mange elementer som O_n. Siden ingen permutasjoner i S_n kan skrives som både et jevnt antall transposisjoner og et odde antall transposisjoner, ser vi at A_n og O_n til sammen utgjør S_n.
Siden [tex]A_n[/tex] inneholder halvparten så mange elementer som [tex]S_n[/tex], vil , [tex]xA_n[/tex](venstre coset) inneholde alle elementer i [tex]S_n[/tex] som ikke er i [tex]A_n[/tex], men det vil også [tex]A_nx[/tex](høyre coset), så [tex]A_nx=xA_n[/tex], og dermed er [tex]A_n[/tex] en normal undergruppe av [tex]S_n[/tex].
2) Kvotientgruppen [tex]S_n/A_n[/tex] har dermed to elementer, {[tex]{A_n, qA_n}[/tex]}, hvor q er en odde permutasjon i S_n. Følgelig ser vi at [tex]S_n/A_n[/tex] danner en isomorfi med [tex]\mathbb{Z}_2[/tex].
Holder beviset vann?