Tredjegradsfunksjon

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Henta fra forberedelsesdelen til 2MX-eksamen.
Teorem
Dersom vi har en tredjegradsfunksjon med tre nullpunkter, vil tangenten til det punktet på grafen som har en x-verdi som ligger midt mellom to av nullpunktene, alltid skjære x-aksen i det tredje nullpunktet.
Jeg tviler sterkt på at det blir oppgave på eksamen å bevise dette, men det skal vi gjøre nå, uansett.
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Nå har vel "galois" allerede gjort dette i en tråd.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Jeg kommer frem til at det blir mye rot med symbolregning. Men her er strategien min:

1) Definere en funksjon f(x) med tre nullpunkter
2) Derivere funksjonen
3) Finne stigningstallet til tangenten, dvs. den deriverte i midtpunktet mellom to av røttene
4) Finne funksjonsverdien til f(x) i midtpunktet mellom to av røttene
5) Finne uttrykket for tangengen gjennom dette punktet og vise at den er lik null i punktet c.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Magnus skrev:Nå har vel "galois" allerede gjort dette i en tråd.
Nja. Hvilken?
Magnus
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Sted: Trondheim

Skal vel fungere det.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

I hvert fall.

Vi ser på tredjegradsfunksjonen [tex]f(x)[/tex] med nullpunkter i [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] og [tex]c[/tex] og tredjegradskoeffisient [tex]n[/tex]. Da er, av Algebraens Fundamentalteorem,

[tex]f(x) = n(x-a)(x-b)(x-c)[/tex]

[tex]f(x) = n \left \[ x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab + ac + bc)x - abc \right \][/tex]

Vi kan anta uten tap av generalitet at vi tar utgangspunkt i røttene [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]. Vi er da interessert i å finne tangenten gjennom [tex]\left (\frac{a+b}{2}\ ,\ f \left ( \frac{a+b}{2} \right ) \right )[/tex].

[tex]f \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = n\left ( \frac{a+b}{2} -a \right )\left ( \frac{a+b}{2} -b \right ) \left ( \frac{a+b}{2} - c \right )[/tex]

[tex]f \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = n\left ( \frac{b-a}{2} \right )\left ( \frac{a-b}{2} \right ) \left ( \frac{a+b - 2c}{2} \right )[/tex]

[tex]f \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{8} (b-a)(a-b)(a+b-2c)[/tex]

[tex]f \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = -\frac{n}{8} (a-b)^2 (a+b-2c)[/tex]

Vi skal også finne den deriverte her.

[tex]f^\prime (x) = n \left [ 3x^2 - 2(a+b+c)x + (ab + ac + bc) \right ][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = n \left [ 3\left ( \frac{a+b}{2} \right )^2 - 2(a+b+c)\left ( \frac{a+b}{2} \right ) + (ab + ac + bc) \right ][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ 3 ( a+b )^2 - 4(a+b+c)(a+b) + 4(ab + ac + bc) \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ 3a^2 + 6ab + 3b^2 -4a^2 - 8ab - 4b^2 - 4ac - 4bc + 4ab + 4ac + 4bc \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ -a^2 +2ab - b^2 \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = -\frac{n}{4}(a-b)^2[/tex]

Vi lar tangenten ha funksjonen [tex]g(x) = px + q[/tex], der [tex]p = -\frac{n}{4}(a-b)^2[/tex].
Vi vet at [tex]g \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = -\frac{n}{8} (a-b)^2 (a+b-2c)[/tex].
Da er
[tex]q = -\frac{n}{8} (a-b)^2 (a+b-2c) +\frac{n}{4}(a-b)^2 \cdot \frac{a+b}{2}[/tex]

[tex]q = \frac{n}{8} \cdot (a-b)^2 \cdot (2c - b - a) + \frac{n}{8} \cdot (a-b)^2 \cdot (a+b)[/tex]

[tex]q = \frac{n}{8}(a-b)^2 \cdot 2c[/tex]

Vi løser nå for nullpunktet til g(x).

[tex]g(x) = 0[/tex]

[tex]px + q = 0[/tex]

[tex]x = -\frac{q}{p}[/tex]

[tex]x = -\frac{\frac{n}{8}(a-b)^2 \cdot 2c}{-\frac{n}{4}(a-b)^2}[/tex]

Nå begynner vi å ane at vi er i mål. Vi multipliserer med 8 oppe og nede.

[tex]x = -\frac{n(a-b)^2 \cdot 2c}{-2n(a-b)^2}[/tex]

Vi stryker [tex]2n(a-b)^2[/tex] oppe og nede.

[tex]x = -\frac{c}{-1} = -(-c)[/tex]

[tex]x = c[/tex]

og vi er i mål.

Q.E.D.
SUPLOLZ
Cantor
Cantor
Innlegg: 116
Registrert: 15/02-2007 21:38
Sted: Stavanger

sEirik skrev:


[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ 3 ( a+b )^2 - 4(a+b+c)(a+b) + 4(ab + ac + bc) \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ 3a^2 + 6ab + 3b^2 -4a^2 - 8ab - 4b^2 - 4ac - 4bc + 4ab + 4ac + 4bc \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ -a^2 +2ab - b^2 \right \][/tex]
Hvorfor fjerna du alle leddene som inneholdt c?
josk17
Cayley
Cayley
Innlegg: 86
Registrert: 30/06-2006 21:36

SUPLOLZ skrev:
sEirik skrev:


[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ 3 ( a+b )^2 - 4(a+b+c)(a+b) + 4(ab + ac + bc) \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ 3a^2 + 6ab + 3b^2 -4a^2 - 8ab - 4b^2 - 4ac - 4bc + 4ab + 4ac + 4bc \right \][/tex]

[tex]f^\prime \left ( \frac{a+b}{2} \right ) = \frac{n}{4} \left \[ -a^2 +2ab - b^2 \right \][/tex]
Hvorfor fjerna du alle leddene som inneholdt c?
[tex]4ac-4ac+4bc-4bc=0[/tex]
Svar