matematikk.net

Bevis at hvis

[tex]x+y+z = \pi[/tex]

så er

[tex]\tan (x) + \tan (y) + \tan (z) = \tan (x) \tan (y) \tan (z)[/tex]

Hva om [tex]x=\frac\pi2[/tex] ?

Hmm.. ikke lov

Er dårlig på både bevis, men en gang må jo være den første:


tan(u+v) = tan(u) + tan(v)/1 - tan(u).tan(v)
y+z=u

Tan(x+u)=tan [symbol:pi]

Tanx +tan u / 1-tanx*tan u = 0

(tanx +(tan y+tanz /1-tan y*tan z) )/ 1-tanx*(tan y+tanz /1-tan y*tan z)=o

(tanx +(tan y+tanz /1-tan y*tan z) =0
-tanx=tan y+tanz /1-tan y*tan z
-tanx +tanx*tany*tanz= tany + tanz
tan x+ tany + tan z= tan x*tan y *tan z

Beklager for "uproffe" symboler, men er dårlig til slikt

Tror parenteser kunne gjort seg?

Ja

Huhu... den oppgaven hadde jeg på tentamen i fjor.

[tex]z = \pi - (x + y)[/tex]

Gir
[tex]\tan(z) = \tan(\pi - (x+y)) = -\tan(x+y) = - \frac{\tan(x) + \tan(y)}{1-\tan(x) \tan(y)}[/tex]

Som ved å multiplisere med nevner gir

[tex]\tan(x) \left( \tan(x)\tan(y) - 1 \right) = \tan(x) + \tan(y)[/tex]

Som kan forenkles til
[tex]\tan(x) + \tan(y) + \tan(z) = \tan(x) \tan(y) \tan(z)[/tex]