matematikk.net

[tex]a^2 = (a-1) \cdot (a+1) + 1[/tex]

Trenger du bevis? Prøv med et hvilket som helst tall for a.

Takk for alle credits. Tenker på patent.

Lett å bevise, siden [tex](a-1)(a+1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1[/tex].

(Det er forøvrig ikke noe bevis å bare prøve med forskjellige tall for a. I matematikken er et bevis håndfast, man kan ikke si at noe gjelder for alle tilfeller siden det gjelder for noen tilfeller.)

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=188

3. kvadratsetning, ): konjugatsetninga:

(a + 1)(a - 1) = a(a - 1) + 1(a -1) = a[sup]2[/sup] - a + a - 1
dvs.
a[sup]2[/sup] = 1 + (a + 1)(a - 1)

Jeg har funnet et polynom som genererer primtall!
[tex]p(x) = x^2 + x + 41[/tex]
Trenger du bevis? Bare prøv med forskjellige tall for x!


Som du kanskje ser trengs det litt mer enn særtilfeller for å bevise en matematisk proposisjon. Polynomet genererer faktisk primtall for alle x fra 0 til 40, men deretter er det stopp.

(Polynomet er etter Euler)

Fint observert. Dette er ikke vanskelig å bevise - som du ser over. Og jeg er virkelig glad for at matematikk ikke kan patenteres. Det hadde ikke gagnet den personlige økonomien om jeg måtte ha betalt royalties hver gang jeg brukte papirmultiplikasjon eller den euklidiske algoritme

Stilig polynom det der. Gir faktisk primtall fra -40 til 39 og også veldig ofte sammenligna med andre "tilfeldige" polynomer på andre intervaller.

Et annet i samme gata: x^2-79x+1601 gir prim for x=0,...,79.

En oppgave til den interesserte: Vis at det ikke finnes noe ikke-konstant polynom som kun gir primtall når vi putter inn heltall.

Ingen som tar oppgaven til mrcreosote her? Er fin for de som er færske i bevisføring.

Ahh, endelig tilbake etter 3 uker på Bali. Klar for høsten.

Er den fin for ferskinger? Få se en enkel måte å løse den på da Har bl.a. lest en som brukte kongruensregning, men jeg kan ikke om det.

Her er min versjon: (Og jeg må innrømme at jeg ikke har kommet på dette selv, men lest det på nett)

Påstand: Det eksisterer ikke noe ikke-konstant polynom slik at [tex]f(x) \in {\mathbb P}[/tex] for alle [tex]x \in {\mathbb Z}[/tex].

Det vi skal gjøre for å bevise påstanden, er å vise at for alle polynomer er f(f(0)) delelig med f(0). Av dette følger det at det ikke kan finnes noe ikke-konstant polynom som kun gir primtall når vi putter inn heltall. En mulighet kunne vært at f(0) var lik 1, men da ville ikke f(0) være et primtall, og funksjonen oppfyller ikke kravene.

Vi definerer et polynom P(x) av grad n:

[tex]P(x) = c_nx^n + c_{n-1}x^{n-1} + ... + c_1x + c_0 = \sum_{i=0}^n c_ix^i = c_0 + \sum_{i=1}^n c_ix^i[/tex]

[tex]P(c_0) = c_0 + \sum_{i=1}^n c_i(c_0)^i = c_0 + \sum_{i=0}^{n-1} c_0 \cdot c_i(c_0)^i = c_0 \left ( 1 + \sum_{i=0}^{n-1}c_i(c_0)^i \right )[/tex]

Vi ser at [tex]P(c_0)[/tex] er delelig med [tex]c_0[/tex]. Dette fullfører beviset.

Men det beviset ikke dekker, er muligheten at P(x) gir primtall for alle naturlige x, hele tall fra 1 og oppover.