Polynom vs. eksponentialfunksjon

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

La [tex]f(x) = a^x[/tex] der a>1 er en konstant.
La [tex]g(x)[/tex] være et polynom.

Vis at [tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \left [f(x) - g(x) \right ] = \infty[/tex].
Sist redigert av sEirik den 14/06-2007 20:11, redigert 1 gang totalt.
mrcreosote
Guru
Guru
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 20:58

Hov, hov.

a>1.

Og x mot uendelig.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Små skjønnhetsfeil :)
daofeishi
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 02:00
Sted: Cambridge, Massachusetts, USA

Siden denne ikke har blitt besvart skisserer jeg et mulig bevis.

Vi lar [tex]f(x) = a^x[/tex] og [tex]g(x)=a_nx^n + ... + a_0[/tex] etter restriksjonene over.

[tex]\lim _{x \rightarrow \infty}\ f(x) - g(x) = \lim _{x \rightarrow \infty} \ f(x) \left( 1 - \frac{g(x)}{f(x)} \right)[/tex]

Ved repetert bruk av L'Hôpitals regel er [tex]\lim _{x \rightarrow \infty} \ \frac{g(x)}{f(x)}[/tex] lik 0, og grenseverdien over går mot uendelig.
Svar