matematikk.net

Enkelt bevis:

Vis at funksjonen [tex]y=arctan x[/tex] deriveres til følgende:

[tex]y^\prime=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Olorin skrev:Enkelt bevis:
Vis at funksjonen [tex]y=arctan x[/tex] deriveres til følgende:
[tex]y^\prime=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

[tex]y=\arctan(x)[/tex]

[tex]\tan(y)=x[/tex]

deriverer implisitt

[tex](1+\tan^2(y))\cdot y^,=1[/tex]

[tex]y^,=\frac{1}{1+\tan^2(y)}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Førte den likedan som deg Jan.

Men kan du bevise den ved å utnytte at tany = siny/cosy ? eller at (tany)' = 1/(cosy)^2 ?

Olorin skrev:Førte den likedan som deg Jan.
Men kan du bevise den ved å utnytte at tany = siny/cosy ? eller at (tany)' = 1/(cosy)^2 ?

Gitt y = arctan(x)

Altså sistnevnte er jo på samma måte;

[tex]\tan(y)=x[/tex]

implisitt derivasjon:

[tex]\frac{1}{\cos^2(y)}\cdot y^,=1[/tex]

[tex]y^,=\cos^2(y)=[\cos(\arctan(x))]^2[/tex]

der [tex]\;\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}[/tex]
(pga Pytagoras)

[tex]y^,=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Generelt:

[tex]y = f^{-1} (x)[/tex]

[tex]f(y) = x[/tex]

[tex]f^\prime (y) \cdot y^\prime = 1[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{f^\prime (y)}[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{f^\prime (f^{-1}(x))}[/tex]

F.eks:

[tex]f(x) = e^x[/tex]

[tex]y = \ln (x) = f^{-1}(x)[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{e^{\ln (x)}} = \frac{1}{x}[/tex]

----------

[tex]f(x) = \sin (x)[/tex]

[tex]y = \arcsin (x)[/tex]

[tex]y^\prime = \frac{1}{\cos (\arcsin (x))} = \frac{1}{\cos (\arccos (\sqrt{1-x^2})} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

Takk for fine svar