matematikk.net

Bevis at det finnes uendelig mange primtall på formen 4n+3, uten å bruke Dirichlets teorem.

Oppfølger: Bevis Dirichlets teorem, som sier at det finnes uendelig mange primtall på formen a +bn der a og b er relativt primske( gcd(a,b)=1)

Jeg klarte omtrent halve del 1 av oppgava før jeg måtte gi meg på det og sjekke et ferdig bevis. Hadde nok ikke klart det uansett uten å vite de opplysningene som etter hvert kom frem i det beviset.

Hint::

Anta for selvmotsigelse at det bare eksisterer et endelig antall primtall på formen 4n+3, og betrakt N = 4*p1*p2*p3*...*pn - 1.

Noen tar tallteori... Vel. a er grei, b er skjitvanskelig. Så drop it;)

Første oppgaven har jeg gjort før - Anta at det bare fins et endelig tall med primtall på formen [tex]4n+3[/tex]. Anta disse er tallene p[sub]1[/sub] til p[sub]n[/sub]. Konstruer tallet [tex]T = 4p_1 p_2 ... p_n - 1[/tex] Legg merke til at [tex]T \equiv 3 \pmod 4[/tex]. Hvis det kun finnes et endelig tall med primtall på den gitte formen, vil T utelukkende kunne bestå av primtallsfaktorer på formen 4n+1. Men dersom dette er sant, så vil [tex]T \equiv 1 \pmod 4[/tex], en selvmotsigelse. Det må dermed eksistere et uendelig antall primtall på formen [tex]4n+3[/tex]. Hurra!

Men Dirichtlet skal få ha teoremet sitt i fred litt til tror jeg.

yay

Legg også merke til at dette lett generaliserer til uendelig mange primtall på formen mn-1 hvor gcd(m,n)=1.

Dirichlet lar vi fornuftig nok ligge, men for den interesserte tror jeg ikke det er så veldig vanskelig å vise resultatet for 4n+1 heller. Det blir gjort ved hjelp av kvadratiske rester i Jones&Jones som tidligere er blitt anbefalt her, men jeg mener å huske at det finnes et annet "trivielt" bevis.

Noen andre artige setninger som vi ikke skal bevise:
Det fins vilkårlige lange følger av primtall i aritmetisk progresjon, altså som 3, 5, 7 av lengde 3 eller 11, 17, 23, 29 av lengde 4. Den lengste kjente består av 24 ledd.

La P være mengden av alle primtall på formen a+bn hvor gcd(a,b)=1. Da vil [tex]\sum_{p\in P} \frac1p[/tex] divergere.

(Det er lov å bli lettere opphissa av dette.)