Opphopningspunkt

[sEirik]

Dette er oppgave 4.4.4 fra Kalkulus av Tom Lindstrøm. Jeg sliter med oppgave c).

Definisjon: Et tall a kalles et opphopningspunkt for følgen [tex]\{x_n\}[/tex] dersom det for hver [tex]\epsilon > 0[/tex] finnes uendelig mange tall [tex]n \in N[/tex] slik at [tex]|x_n - a| < \epsilon[/tex].

a) a er et opphopningspunkt for [tex]\{x_n\}[/tex] hvis og bare hvis en delfølge av [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer mot a. (Dette har jeg vist)

b) Enhver begrenset følge har et opphopningspunkt. (Dette har jeg vist)

c) Vis at en begrenset følge konvergerer hvis og bare hvis den har nøyaktig ett opphopningspunkt.

Det er da oppgave c) jeg sliter med.

Har følgende setninger til hjelp:

=== Teorem ===

4.4.2 Hvis [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer mot x, vil alle delfølger av [tex]\{x_n\}[/tex] konvergere mot x.

4.4.3 Enhver følge har en monoton delfølge

4.4.4 Enhver begrenset følge har en konvergent delfølge

4.4.5 Enhver begrenset følge av komplekse tall har en konvervent delfølge

4.4.7 Enhver konvergent følge er en Cauchy-følge.

4.4.8 Enhver Cauchy-følge er begrenset.

4.4.9 Dersom en Cauchy-følge [tex]\{x_n\}[/tex] har en delfølge som konvergerer mot x, så konvergerer også [tex]\{x_n\}[/tex] selv mot x.

4.4.10 En følge av reelle tall konvergerer hvis og bare hvis den er en Cauchy-følge.

Jeg har valgt å skru det sammen sånn her:

Vi skal vise en ekvivalens, nemlig

[tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer [tex]\ \Longleftrightarrow \ \{x_n\}[/tex] har nøyaktig ett opphopningspunkt

Jeg velger da å først vise implikasjon mot høyre, og så vise implikasjon mot venstre.

Implikasjon mot høyre:
Siden [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer, må den (fg. oppgave b) ha et opphopningspunkt. Det som gjenstår å vise, er at [tex]\{x_n\}[/tex] ikke kan ha flere opphopningspunkter.
Anta for selvmotsigelse at [tex]\{x_n\}[/tex] har flere opphopningspunkter. Da er [tex]\lim_{x \rightarrow \infty} x_n = x[/tex] et opphopningspunkt, mens a er et annet opphopningspunkt, der [tex]a \not = x[/tex]. Da kan umulig [tex]\{x_n\}[/tex] også konvergere mot a. Men siden a er et opphopningspunkt for [tex]\{x_n\}[/tex], må det (jf. oppgave. a) eksistere en delfølge av [tex]\{x_n\}[/tex] som konvergerer mot a. Siden [tex]\{x_n\}[/tex] konvergerer, er den en Cauchy-følge (jf. setning 4.4.7). Når [tex]\{x_n\}[/tex] har en delfølge som konvergerer mot a, må den (jf. setning 4.4.9) selv konvergere mot a, og dette er en selvmotsigelse. Konklusjonen er at [tex]\{x_n\}[/tex] umulig kan ha flere opphopningspunkter.


Det jeg nå sliter med, er å vise implikasjonen mot venstre!

[mrcreosote]

Hvis en begrensa følge har nøyaktig ett opphopningspunkt a, betyr det at halen på rekka må befinne seg nært a, siden det per antagelse ikke finnes uendelig mange punkter som ligger nært noe punkt ulikt a. Dette er det samme som å si at rekka konvergerer mot a.

[sEirik]

Var dessverre ikke helt med på den...
For det første, hva er definisjonen på halen til ei følge?
Og hvorfor konvergerer den mot a hvis det ikke finnes uendelig mange punkter som ligger nært noe annet punkt enn a?

[mrcreosote]

Det var veldig lite formelt det jeg skreiv, men tankene er der, så kan du fylle inn beviset.

Halen er bare slutten av rekka, altså alle a_n hvor n er større enn en eller annen bestemt N.

Siden følga bare har ett opphopningspunkt (vi har antatt dette), vil bare endelig mange a_i ikke ligge nær dette. (Tenk på hva som skjer hvis ikke og referer til a)). Derfor vil halen på rekka ligge nær opphopningspunktet. Hva betyr dette formelt sett? Jo, nettopp at rekka konvergerer.

[sEirik]

Takk for forklaringene!

Jeg har nå klart å danne et noenlunde bilde i hodet mitt av hvorfor saker og ting må bli sånn, men jeg sliter enda med å skrive et formelt bevis for det! (Og ingen må komme her og si jeg ikke har tenkt nok på det, for det synes jeg faktisk at jeg har! )

Jeg er ikke ute etter å få løsningen ferdig rett i fanget, men kanskje 2-3 punkter som hint til hvordan et formelt bevis kan bygges opp?

Tusen takk!

[mrcreosote]

Det er ofte vel så viktig å danne seg bilder som å kunne lage et formelt bevis. Veien fra bilde til bevis er i alle fall nesten alltid kortere enn motsatt.

Det er heller ikke sånn at man ikke skal se løsninger på oppgaver man ikke har fått til. Med den holdninga hadde man neppe trengt noe særlig med beviser i lærebøker; setningene kan man jo sjøl vise...!

Vi gjør et forsøk på heftig hinting:

Anta at følga bare har ett opphopningspunkt a. Vis/forklar at da vil bare endelig mange ledd i følga ikke ligge nært a. (Hva betyr nært formelt sett?) Du trenger muligens oppgave a) til dette.

Forklar at siden kun endelig mange ledd ikke ligger nært a vil det for hver eps finnes en N(eps) så x_n vil ligge nært a så lenge n>N. Vis at dette formelt skrevet er det samme som å si at rekka konvergerer.

Jeg kan godt poste et helt løsningsforslag om du vil ha?

[sEirik]

Tror det der skal holde til at jeg skal kunne ro i land selv

Tar det i morgen etter skolen. Tusen takk!

[sEirik]

Ok, NÅ har jeg det! Eureka! hehe...

La det eneste opphopningspunktet være a.

For alle [tex]\epsilon > 0[/tex] skal vi vise at det eksisterer en N slik at for alle [tex]n \ge N[/tex] er [tex]x_n \in \<a-\epsilon , a+\epsilon \>[/tex].

Vi skal vise at det kun er et endelig antall [tex]x_n[/tex] som ligger utenfor dette intervallet. Siden [tex]x_n[/tex] er begrenset kan vi fastslå at det eksisterer to reelle tall A og B, [tex]A < B[/tex], slik at [tex]x_n \in \<A,B\>[/tex] for alle n.

Anta at det er uendelig mange [tex]x_n[/tex] som ligger i intervallet [tex]\[a + \epsilon, B\>[/tex]. Det betyr at vi kan lage en delfølge [tex]y_k[/tex] av [tex]x_n[/tex] som består av alle leddene i [tex]x_n[/tex] som er med i [tex]\[a + \epsilon, B\>[/tex]. Da er [tex]y_k[/tex] begrenset, og den må ha en konvergent delfølge. Denne delfølgen må ha et opphopningspunkt som ikke er lik a, og dette er en selvmotsigelse. Antakelsen må være feil, altså er det bare endelig mange [tex]x_n[/tex] som ligger i intervallet [tex]\[a + \epsilon, B\>[/tex]. Vi lar [tex]x_{N_1}[/tex] være det siste leddet som er med i intervallet.

Tilsvarende argumentasjon som over gjelder også for intervallet [tex]\<A, a- \epsilon\][/tex]. Vi lar [tex]x_{N_2}[/tex] være det siste leddet som er med i dette intervallet.

Vi setter nå N til å være det største av tallene [tex]N_1[/tex] og [tex]N_2[/tex], pluss én. Det er nå sikkert at alle [tex]x_n[/tex] der [tex]n \ge N[/tex] ligger utenfor intervallene [tex]\<A, a- \epsilon\][/tex] og [tex]\[a + \epsilon, B\>[/tex], men allikevel innenfor intervallet [tex]\<A,B\>[/tex]. Det betyr at alle [tex]x_n[/tex] der [tex]n \ge N[/tex] må ligge innenfor intervallet [tex]\<a - \epsilon , a+\epsilon\>[/tex].
Dette fullfører beviset.

[mrcreosote]

Ser bra ut det, Eirik.

Klarer du å finne en følge som med nøyaktig ett opphopningspunkt som divergerer? (Altså: Er det egentlig viktig at følga er begrensa?)

[sEirik]

Ja, det var neste oppgave nemlig

Tenkte at det ikke kunne være så vanskelig, bare å skru sammen noe sånt:

[tex]x_n = [(-1)^n + 1] \cdot 2^n[/tex]