Enkelt direkte bevis (Arcsin)
Lagt inn: 06/10-2007 22:27
Dette er veldig enkelt og veldig rett frem, men jeg tar det fordi resultatet har jeg funnet veldig nyttig mangt en gang.
[tex]sin\gamma = \frac{e^{i\gamma} - e^{-i\gamma}}{2i}[/tex]
[tex]\frac{e^{i\gamma} - e^{-i\gamma}}{2i} = u[/tex]
[tex]e^{i\gamma} - e^{-i\gamma} = 2iu[/tex]
[tex]e^{i\gamma} - e^{-i\gamma} = 2iu |\cdot e^{i\gamma}[/tex]
[tex](e^{i\gamma})^2 - 1 = 2iue^{i\gamma}[/tex]
[tex](e^{i\gamma})^2 - 2iue^{i\gamma} - 1 = 0[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{(2iu)^2 + 4}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{4 - 4u^2}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{4(1-u^2)}}{2} [/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm 2\sqrt{1-u^2}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = iu \pm \sqrt{1-u^2}[/tex]
[tex]i\gamma = \ln(iu \pm \sqrt{1-u^2})[/tex]
[tex]\gamma = -i\ln(iu \pm \sqrt{1-u^2})[/tex]
(den virker for alle u inni C også)
[tex]sin\gamma = \frac{e^{i\gamma} - e^{-i\gamma}}{2i}[/tex]
[tex]\frac{e^{i\gamma} - e^{-i\gamma}}{2i} = u[/tex]
[tex]e^{i\gamma} - e^{-i\gamma} = 2iu[/tex]
[tex]e^{i\gamma} - e^{-i\gamma} = 2iu |\cdot e^{i\gamma}[/tex]
[tex](e^{i\gamma})^2 - 1 = 2iue^{i\gamma}[/tex]
[tex](e^{i\gamma})^2 - 2iue^{i\gamma} - 1 = 0[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{(2iu)^2 + 4}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{4 - 4u^2}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm \sqrt{4(1-u^2)}}{2} [/tex]
[tex]e^{i\gamma} = \frac{2iu \pm 2\sqrt{1-u^2}}{2}[/tex]
[tex]e^{i\gamma} = iu \pm \sqrt{1-u^2}[/tex]
[tex]i\gamma = \ln(iu \pm \sqrt{1-u^2})[/tex]
[tex]\gamma = -i\ln(iu \pm \sqrt{1-u^2})[/tex]
(den virker for alle u inni C også)