e^x derivert
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Anta at funksjonen f(x) er lik sin egen derivert, altså [tex]f(x)=\frac{df}{dx}[/tex]. Prøv å løse denne differensialligninga! Klarer du det vil du oppdage at læreren din har vært litt slurvete.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Helt i orden, fint du er nysgjerrig.
Du kan løse denne ligninga ved å gange opp med dx på hver side. Dette er ikke en helt lovlig operasjon siden dx ikke kan betraktes som et vanlig tall, men det duger ofte til å forklare allikevel. Regninga stemmer dessuten.
I alle fall, vi ender opp med [tex]dx=\frac{df}f[/tex] når vi stokker litt. Hvis vi nå integrerer begge sider får vi [tex]\int dx = \int\frac{df}f[/tex] som etter integrasjon gir [tex]x = \ln|f(x)|+C[/tex]. Hvis du roter videre med denne (du må gjøre noen småtriks her, prøv!) får du [tex]f(x) = Ae^x[/tex] for en konstant A.
Vær oppmerksom på at dette hverken er fyldig eller presist, men kun idégrunnlaget.
Du kan løse denne ligninga ved å gange opp med dx på hver side. Dette er ikke en helt lovlig operasjon siden dx ikke kan betraktes som et vanlig tall, men det duger ofte til å forklare allikevel. Regninga stemmer dessuten.
I alle fall, vi ender opp med [tex]dx=\frac{df}f[/tex] når vi stokker litt. Hvis vi nå integrerer begge sider får vi [tex]\int dx = \int\frac{df}f[/tex] som etter integrasjon gir [tex]x = \ln|f(x)|+C[/tex]. Hvis du roter videre med denne (du må gjøre noen småtriks her, prøv!) får du [tex]f(x) = Ae^x[/tex] for en konstant A.
Vær oppmerksom på at dette hverken er fyldig eller presist, men kun idégrunnlaget.
Når det gjelder det tråden spør etter - bevis for derivasjonen - så fikk jeg nylig et slikt bevis av mattelæreren min! Dermed:
[tex]$(a^x )\prime = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^{x + \Delta x} - a^x }}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x }}{{x}} = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^x (a^{\Delta x} - 1)}}{{x}}$[/tex]
Innfør [tex]h[/tex] slik at
[tex]a^{\Delta x} - 1 = h \cr [/tex]
[tex]a^{\Delta x} = 1 + h \cr [/tex]
[tex]\Delta x \cdot \ln a = \ln (1 + h) \cr [/tex]
[tex]\Delta x = \frac{{\ln (1 + h)}}{{\ln a}}[/tex]
[tex](a^x )\prime = a^x {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{{\frac{{\ln (1 + h)}}{{\ln a}}}} = a^x \ln a \cdot {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{{\ln (1 + h)}} = a^x \ln a \cdot {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\frac{1}{h}\ln (1 + h)}} \cr = a^x \ln a \cdot {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\ln (1 + h)^{\frac{1}{h}} }} = a^x \ln a \cdot \frac{1}{{\ln e}} = a^x \ln a [/tex]
Regel: [tex](a^x)\prime = a^x \ln a[/tex] og [tex](e^x)\prime = e^x \ln e = e^x[/tex]
[tex]$(a^x )\prime = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^{x + \Delta x} - a^x }}{{\Delta x}} = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^x \cdot a^{\Delta x} - a^x }}{{x}} = {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{a^x (a^{\Delta x} - 1)}}{{x}}$[/tex]
Innfør [tex]h[/tex] slik at
[tex]a^{\Delta x} - 1 = h \cr [/tex]
[tex]a^{\Delta x} = 1 + h \cr [/tex]
[tex]\Delta x \cdot \ln a = \ln (1 + h) \cr [/tex]
[tex]\Delta x = \frac{{\ln (1 + h)}}{{\ln a}}[/tex]
[tex](a^x )\prime = a^x {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{{\frac{{\ln (1 + h)}}{{\ln a}}}} = a^x \ln a \cdot {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{h}{{\ln (1 + h)}} = a^x \ln a \cdot {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\frac{1}{h}\ln (1 + h)}} \cr = a^x \ln a \cdot {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\ln (1 + h)^{\frac{1}{h}} }} = a^x \ln a \cdot \frac{1}{{\ln e}} = a^x \ln a [/tex]
Regel: [tex](a^x)\prime = a^x \ln a[/tex] og [tex](e^x)\prime = e^x \ln e = e^x[/tex]
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Når det gjelder et bevis for at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] så har jeg også et å komme med.
[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Vi må nå vise at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1[/tex].
En av definisjonene på [tex]e[/tex] er [tex]e = \lim_{n \to 0} (1 + n)^{\frac{1}{n}}[/tex]. Setter vi det inn i grenseverdien vi skal vise, får vi:
[tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left( (1 + h)^{\frac{1}{h}}\right)^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{\frac{1}{\cancel{h}} \cdot \cancel{h}} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + h - 1}{h} = 1[/tex]
Altså har vi at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1[/tex]. Da er
[tex](e^x)^\prime = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x[/tex].
Dere bevisfolk, er det et godt nok bevis?
[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x + h} - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} e^x \cdot \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]
Vi må nå vise at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1[/tex].
En av definisjonene på [tex]e[/tex] er [tex]e = \lim_{n \to 0} (1 + n)^{\frac{1}{n}}[/tex]. Setter vi det inn i grenseverdien vi skal vise, får vi:
[tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\left( (1 + h)^{\frac{1}{h}}\right)^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^{\frac{1}{\cancel{h}} \cdot \cancel{h}} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 + h - 1}{h} = 1[/tex]
Altså har vi at [tex]\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1[/tex]. Da er
[tex](e^x)^\prime = e^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x[/tex].
Dere bevisfolk, er det et godt nok bevis?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Etter nærmere ettertanke tror jeg at beviset ditt muligens ikke er helt godt. Har tenkt litt på det i det siste, og jeg har en mistanke om at formelenVektormannen skrev:Når det gjelder et bevis for at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex] så har jeg også et å komme med.
[tex]e =\lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}[/tex]
er avledet av nettopp definisjonen av den deriverte, som også var det du brukte for å vise det du prøvde på.
Det blir som om jeg skal bevise egenskaper ved trekanter ved å bruke de trigonometriske funksjonene.
Er proffene enige med meg, eller roter jeg nå?
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
-
Vektormannen
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Ah, i såfall blir det jo helt feil ja. Blir absurd å bevise noe ved å benytte det i beviset ja 
Elektronikk @ NTNU | nesizer