Og så var det eulers tall da...

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Og så var det eulers tall da...

Innlegg sEirik » 05/11-2007 20:50

Vi lærer på vgs at e er det irrasjonale tallet som er slik at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex].

Men hvordan kan man egentlig være sikker på at det eksisterer et slikt tall? Og hvordan kan man ut fra det utlede en sum eller en grenseverdi som gir verdien av e?
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg sEirik » 05/11-2007 21:10

Prøver meg selv først.

Hvis det eksisterer et slikt tall e, så må

(1) [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex]

[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}[/tex]

[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]

Hmm, da setter vi inn i (1) og får

[tex]e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]

Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex]. Altså er

[tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]

Altså er

[tex]e^x = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]

Siden [tex]e^x > 0[/tex] kan vi dele.

[tex]1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]

Der stopper det altså. Har ikke blitt noe klokere, men har i hvert fall funnet frem til en grenseverdi da! :-)
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg arildno » 05/11-2007 21:32

Gitt, si, induktiv definisjon av positive heltallspotenser,

definer funksjonen:
[tex]Exp(x)=1+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}[/tex]
Du kan vise masse festlige ting om denne funksjonen, som at den er absolutt konvergent for alle x, at den er invertibel med invers Ln(x), samt leddvis deriverbar, med derivert lik seg selv.

Videre kan vi definere, for a>0, den generelle exponentialfunksjon ved
[tex]a^{x}\equiv{E}(xLn(a))[/tex]

Siden Exp(x) er konvergent for alle x, er den spesielt konvergent for x=1, og vi definerer e=Exp(1).

Dermed får vi, pr. definisjon at:
[tex]e^{x}=Exp(x*Ln(e))=Exp(x)[/tex], og e^x har dermed seg selv som derivert fordi Exp(x) har det..
arildno offline
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Innlegg sEirik » 05/11-2007 21:38

Skjønte fremgangsmåten!
Er det bevis som er enkle nok til at de kan postes her? :)
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg arildno » 05/11-2007 22:29

Enkle, men langtekkelige..det må bli i porsjoner..
arildno offline
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Innlegg ingentingg » 05/11-2007 22:54

sEirik skrev:Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex].


Her må du være forsiktig. Det gjelder kun når A er en konstant.. Viss ikke hadde jo den deriverte av et produkt, vært produktet av de deriverte.
ingentingg offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 16:49

Innlegg Bogfjellmo » 05/11-2007 22:58

Skal vi se om vi klarer å komme oss til en av de vanlige grenseverdiene man bruker for å definere e.

Begynner med sEiriks siste grenseverdi,

[tex]\displaystyle 1 = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{e^h-1}{h}[/tex]

men med den modifikasjonen at vi ser bort fra grenseverdien og erstatter e med a(h). Får da

[tex]\frac{(a(h))^h-1}{h}=1[/tex]

Denne definerer (implisitt) en funksjon a(h). e vil være gitt av grenseverdien

[tex]\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = e[/tex]

Ok, finner nå a(h) eksplisitt:

[tex](a(h))^h = 1+h[/tex]
[tex]a(h) = (1+h)^{\frac 1h}[/tex]

Tar grenseverdien:

[tex]e = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 }(1+h)^{\frac 1h}[/tex]

Som er en av tekstbokdefinisjonene på e.
Bogfjellmo offline
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 29/10-2007 22:02

Innlegg ingentingg » 05/11-2007 23:00

Man kan definere ln x til å være:

[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]

Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.

Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.

[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]
ingentingg offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 16:49

Innlegg Charlatan » 05/11-2007 23:29

Samme måte, men litt annerledes notasjon ved bruk av identiske uttrykk og kjerneregelen:
[tex]x=lne^x \Rightarrow (x)^\prime = (lne^x)^\prime \Rightarrow 1=\frac{1}{e^x} \cdot (e^x)^\prime \Rightarrow (e^{x})^\prime = e^x[/tex]

2mx bokas bevis.
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg arildno » 06/11-2007 10:11

ingentingg skrev:Man kan definere ln x til å være:

[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]

Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.

Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.

[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]

Du glemte det "viktigste" da:
Vi definerer "e" til å være det tallet større enn 1 slik at arealet under grafen til 1/t mellom 1 og e er lik 1..
arildno offline
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Innlegg Charlatan » 06/11-2007 17:25

Er det virkelig definert slik? Er det den universelle definisjonen?
Charlatan offline
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Innlegg ingentingg » 06/11-2007 18:14

Det er 3 måter som er vanlige å definere e på. Det kan vises at de er ekvivalente.

Sjekk linkene litt nede i tråden.:

http://www.matematikk.net/ressurser/matteprat/viewtopic.php?t=12196&highlight=
ingentingg offline
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 16:49

Innlegg sEirik » 06/11-2007 19:54

ingentingg skrev:
sEirik skrev:Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex].


Her må du være forsiktig. Det gjelder kun når A er en konstant.. Viss ikke hadde jo den deriverte av et produkt, vært produktet av de deriverte.


Ahh, riktig... jeg rota med den setninga her:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)\ \cdot \ \lim_{n \rightarrow \infty} (\cdot b_n)[/tex]

som er fra kapittelet om konvergens. Har nemlig ikke kommet til grenseverdier enda, så jeg antok jo i farta at det måtte stemme med grenseverdier også :P

----

Hmm, ser på side 233 i "Kalkulus" (TL) nå, og der står det jo at setninga jeg presenterte over, stemmer!
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Innlegg arildno » 06/11-2007 20:33

Niks.
Produktoppslitting av grenseverdi holder bare nødvendigvis når faktorene selv har definerte grenseverdier. Man kan ikke bruke den generelt.
arildno offline
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Innlegg sEirik » 06/11-2007 20:36

Aah, en bitteliten forskjell :-)
sEirik offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 20:30
Bosted: Oslo

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 2 gjester