Og så var det eulers tall da...

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Vi lærer på vgs at e er det irrasjonale tallet som er slik at [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex].

Men hvordan kan man egentlig være sikker på at det eksisterer et slikt tall? Og hvordan kan man ut fra det utlede en sum eller en grenseverdi som gir verdien av e?
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Prøver meg selv først.

Hvis det eksisterer et slikt tall e, så må

(1) [tex](e^x)^\prime = e^x[/tex]

[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}[/tex]

[tex](e^x)^\prime = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]

Hmm, da setter vi inn i (1) og får

[tex]e^x = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}[/tex]

Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex]. Altså er

[tex]\lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]

Altså er

[tex]e^x = e^x \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]

Siden [tex]e^x > 0[/tex] kan vi dele.

[tex]1 = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h}[/tex]

Der stopper det altså. Har ikke blitt noe klokere, men har i hvert fall funnet frem til en grenseverdi da! :-)
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Gitt, si, induktiv definisjon av positive heltallspotenser,

definer funksjonen:
[tex]Exp(x)=1+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}[/tex]
Du kan vise masse festlige ting om denne funksjonen, som at den er absolutt konvergent for alle x, at den er invertibel med invers Ln(x), samt leddvis deriverbar, med derivert lik seg selv.

Videre kan vi definere, for a>0, den generelle exponentialfunksjon ved
[tex]a^{x}\equiv{E}(xLn(a))[/tex]

Siden Exp(x) er konvergent for alle x, er den spesielt konvergent for x=1, og vi definerer e=Exp(1).

Dermed får vi, pr. definisjon at:
[tex]e^{x}=Exp(x*Ln(e))=Exp(x)[/tex], og e^x har dermed seg selv som derivert fordi Exp(x) har det..
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Skjønte fremgangsmåten!
Er det bevis som er enkle nok til at de kan postes her? :)
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Enkle, men langtekkelige..det må bli i porsjoner..
ingentingg
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 17:49

sEirik skrev: Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex].
Her må du være forsiktig. Det gjelder kun når A er en konstant.. Viss ikke hadde jo den deriverte av et produkt, vært produktet av de deriverte.
Bogfjellmo
Cantor
Cantor
Innlegg: 142
Registrert: 29/10-2007 22:02

Skal vi se om vi klarer å komme oss til en av de vanlige grenseverdiene man bruker for å definere e.

Begynner med sEiriks siste grenseverdi,

[tex]\displaystyle 1 = \lim_{h\rightarrow 0 } \frac{e^h-1}{h}[/tex]

men med den modifikasjonen at vi ser bort fra grenseverdien og erstatter e med a(h). Får da

[tex]\frac{(a(h))^h-1}{h}=1[/tex]

Denne definerer (implisitt) en funksjon a(h). e vil være gitt av grenseverdien

[tex]\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = e[/tex]

Ok, finner nå a(h) eksplisitt:

[tex](a(h))^h = 1+h[/tex]
[tex]a(h) = (1+h)^{\frac 1h}[/tex]

Tar grenseverdien:

[tex]e = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 } a(h) = \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0 }(1+h)^{\frac 1h}[/tex]

Som er en av tekstbokdefinisjonene på e.
ingentingg
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 17:49

Man kan definere ln x til å være:

[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]

Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.

Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.

[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Samme måte, men litt annerledes notasjon ved bruk av identiske uttrykk og kjerneregelen:
[tex]x=lne^x \Rightarrow (x)^\prime = (lne^x)^\prime \Rightarrow 1=\frac{1}{e^x} \cdot (e^x)^\prime \Rightarrow (e^{x})^\prime = e^x[/tex]

2mx bokas bevis.
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

ingentingg skrev:Man kan definere ln x til å være:

[tex]\ln x = \displaystyle\int_1^x\frac1tdt[/tex]

Så kan man vise at denne er monotont voksende, dermed har den en invers. Vi definerer så denne inversen til å være e^x.

Ved implisitt derivasjon mhp x blir dermed.

[tex]y = e^x\\ln y = x \\ \frac1y\frac{dy}{dx} = 1\\ \frac{dy}{dx} = y = e^x[/tex]
Du glemte det "viktigste" da:
Vi definerer "e" til å være det tallet større enn 1 slik at arealet under grafen til 1/t mellom 1 og e er lik 1..
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Er det virkelig definert slik? Er det den universelle definisjonen?
ingentingg
Weierstrass
Weierstrass
Innlegg: 451
Registrert: 25/08-2005 17:49

Det er 3 måter som er vanlige å definere e på. Det kan vises at de er ekvivalente.

Sjekk linkene litt nede i tråden.:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... highlight=
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

ingentingg skrev:
sEirik skrev: Vi vet fra før at [tex]\lim_{h \rightarrow 0} (AB) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} A\right ) \cdot \left ( \lim_{h \rightarrow 0} B \right )[/tex].
Her må du være forsiktig. Det gjelder kun når A er en konstant.. Viss ikke hadde jo den deriverte av et produkt, vært produktet av de deriverte.
Ahh, riktig... jeg rota med den setninga her:

[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)\ \cdot \ \lim_{n \rightarrow \infty} (\cdot b_n)[/tex]

som er fra kapittelet om konvergens. Har nemlig ikke kommet til grenseverdier enda, så jeg antok jo i farta at det måtte stemme med grenseverdier også :P

----

Hmm, ser på side 233 i "Kalkulus" (TL) nå, og der står det jo at setninga jeg presenterte over, stemmer!
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Niks.
Produktoppslitting av grenseverdi holder bare nødvendigvis når faktorene selv har definerte grenseverdier. Man kan ikke bruke den generelt.
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Aah, en bitteliten forskjell :-)
Svar