Trekantulikheten

[Markonan]

Dette er et forsøk på bevis ved utmattelse (proof by Exhaustion). Vil bare si at jeg også er fullstendig klar over at det kan gjøres hundre ganger enklere enn dette.

Definisjon Trekantulikheten
For alle tall [tex]a,b \in \bb{R}[/tex], gjelder:
[tex]|a+b| \leq |a| + |b|[/tex]

Bevis
Det er 4 tilfeller vi må betrakte.
[tex]\begin{array}{|l|llll|}\hline\\a&+&+&-&-\\b&+&-&+&-\\\hline\\\end{array}[/tex]
og det er 3 forskjellige størrelsesordener.
[tex]a > b,\quad a = b, \quad a < b[/tex]

Vi velger f.eks a = -4 og b = 6, og ser da
[tex]|-4 + 6| = 2 < |-4| + |6| = 10[/tex]

Vi gjentar regnestykket helt til vi har vist alle mulige kombinasjoner. a>b og a<b går for det samme siden vi bare kan bruke de samme verdiene og derfor også det samme regnestykket.

Er dette et gyldig bevis?

[mrcreosote]

Hvis du bare sjekker med noen tall som -4 og 6, blir det for tynt, også om du tar eksempler fra alle tilfellene.

Prøv å dele opp i kun 2 tilfeller: a og b har samme/ulikt fortegn. Hva kan du si om venstresida i ulikheta? (Ekstraspørsmål: I politikken?)

[Charlatan]

Jeg er imponert over boksen med tegn du lagde!

Hva med å prøve ut alle de forskjellige alternativene, men likevel holde deg til a og b. Du kan ofte trekke konklusjoner fra hvert tilfelle uten å vite verdien til a eller b.

[Markonan]

Takk for forslag. Har beviset foran meg i Kalkulusboka, men tenkte jeg kunne prøve meg på en annen variant.

Tabeller i TeX er veldig enkelt å lage.

Kode: Velg alt

\begin{array}{|c|c|c|} 
\hline     
\rm{Kol 1} & \rm{Kol 2} & \rm{Kol 3}
\hline 
1 & 2 & 3\\ 
4 & 5 & 6\\
\hline
\end{array}

Få alt på en linje og voila:

[tex]\begin{array}{|c|c|c|}\hline\\\rm{Kol 1} & \rm{Kol 2} & \rm{Kol 3}\\\hline\\1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\\hline\end{array}[/tex]

[daofeishi]

Du kan kanskje klare å argumentere for at:
[tex]ab \leq |a||b|[/tex]?

Dette impliserer at
[tex]a^2 + 2ab + b^2 \leq a^2 + 2|a||b| + b^2[/tex]

Og vi ser med en gang at dette er kvadrater:
[tex](a+b)^2 \leq (|a| + |b|)^2[/tex]

... og da er vi der snart.

[Markonan]

[tex]\sq{(a+b)^2} \leq \sq{(|a| + |b|)^2}[/tex]

[tex]|a+b| \leq ||a| + |b||[/tex]

[tex]|a+b| \leq |a| + |b|[/tex]

Mener jeg skal stemme...

[Markonan]

Dette var riktig, ikke sant?

[daofeishi]

Stemmer som bare det

[Markonan]

*Moonwalk*

[Magnus]

Stod noe idiotisk her.

[sEirik]

Trekantulikheten er jo (dønn) kjedelig for reelle tall, er for komplekse den er tingen!

Neisj, den er jo veldig nyttig i epsilon-bevis!! (Riktignok også veldig grei å ha for komplekse tall og. Men finnes det en stor vesentlig ting den brukes til med komplekse tall som ikke har noen tilsvarende sak for de reelle tallene?)

[Bogfjellmo]

Trekantulikheten gjelder da for ethvert metrisk rom. Den er faktisk ett av aksiomene.

Den er bl.a. ganske fin for å bevise at [tex](C[0,1]\ ,\ d_\infty)[/tex] er lukket, samt diverse andre lukketheter.

[Charlatan]

Hvis det er et aksiom som du sier, hvorfor er det da nødvendig å bevise det?

[Bogfjellmo]

Hvis det er et aksiom som du sier, hvorfor er det da nødvendig å bevise det?

Trekantulikheten her et aksiom på den måten at for et rom (M,d) skal få lov til å kalle seg et metrisk rom, må

[tex]d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)[/tex]

for alle [tex]x,y,z \in M[/tex]

For å bevise at [tex]\mathbb{R}[/tex] er et metrisk rom med den vanlige metrikken, må vi bl.a. bevise at

[tex]|x-z| \leq |x-y|+|y-z|[/tex]

[Magnus]

Ok da Bogfjellmo, men nå har ikke jeg tatt lin.met ennå! Så for meg er den det; )