matematikk.net

Læreboken har nettopp utledet et bevis for at hvis følgen
[tex]a_n \rightarrow a[/tex] og [tex]a_n \rightarrow b[/tex] når
[tex]n \rightarrow \infty[/tex], så er a = b. Dette bevises ganske enkelt med en selvmotsigelse.

En av oppgavene er derimot å komme med et alternativt bevis for dette. De enkelte leddene er stykket opp, og så skal man utlede det nye beviset fra de enkelte resultatene.
a) Vis at hvis
[tex]|a-b| < \epsilon[/tex] for alle [tex]\epsilon > 0[/tex], så er [tex]a = b[/tex]

Ok. Jeg er særdeles uerfaren med slik bevisføring og jeg står helt dønn fast på denne. Vil ikke egentlig setningen vise seg selv?

Hvis vi har [tex]|a-b| < \epsilon[/tex] for alle epsilon [tex]\Rightarrow a = b[/tex]
Uansett hvor liten differensen er, kan vi bare velge en epsilon som er mindre. Følgelig må a være lik b.

Er det virkelig så rett frem?

(Visste ikke om jeg skulle legge denne inne under høyskole eller bevis. Men la den her, siden det er et bevis ).

=============================
Kom på en alternativ måte som kanskje er litt bedre (selv om jeg fortsatt tror den første holder).

Vi antar at
[tex]a \not= b[/tex]

Da vil vi ha en gyldig epsilon hvis vi setter:
[tex]\epsilon = \frac{|a-b|}{2} > 0[/tex]

Men dette gir oss en selvmotsigelse når
[tex]|a-b| < \epsilon = \frac{|a-b|}{2}[/tex]

derfor kan ikke a [symbol:ikke_lik] b!

b) Vis at hvis
[tex]a_n \rightarrow a[/tex] og [tex]a_n \rightarrow b[/tex] når
[tex]n \rightarrow \infty[/tex]

så vil
[tex]|a-b| < \epsilon[/tex] for alle [tex]\epsilon > 0[/tex]
---------------
Fra definisjonen har vi at
[tex]|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}[/tex] for [tex]n \geq N_1[/tex]

[tex]|a_n - b| < \frac{\epsilon}{2}[/tex] for [tex]n \geq N_2[/tex]

Fra dette kan vi utlede, med n > max(N_1, N_2)

- (første forsøk) -
[tex]|(a_n + a_n) - (a + b)| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex]

[tex]|(a_n - a) + (a_n - b)| < \epsilon[/tex]

- et mirakel inntreffer -

[tex]|a - b| < \epsilon[/tex]

Hehe. Trenger muligens et lite hint til beregningene et visst sted.
Edit====================
Da klarte jeg denne også (men det tar tid!).

Starter med |a-b|, legger til og trekker fra a_n, og bruker trekantulikheten
[tex]|a - a_n + a_n - b| \leq |a-a_n| + |a_n - b| = |a_n - a| + |a_n - b| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex]

og vi har vist at
[tex]|a-b| < \epsilon[/tex] for alle epsilon.

Prøv å ta den ene absoluttverdien - den andre. Så kan du bruke trekantulikheten.

Vet ikke om du fikk med deg et jeg redigerte innlegget. Det blir vel riktig det jeg gjorde?

Hvis det er tilfellet, så begynner jeg kanskje å få litt kontroll på sakene.

Det ser veldig bra ut det. Å legge til å trekke fra det samme er standardmåten på sånne oppgaver.