Epsilon-delta bevis, kontinunerlige funksjoner

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Markonan
Euclid
Euclid
Innlegg: 2136
Registrert: 24/11-2006 19:26
Sted: Oslo

Skal bevise at hvis f og g er kontinuerlige funksjoner, så er også fg kontinuerlig.

Vi definerer [tex]fg \; :\; E \rightarrow \bb{F}[/tex] ved
[tex](fg)(t) \;=\; f(t)g(t)[/tex] for alle [tex]t \in E[/tex]
(F er en ordnet kropp og E er en delmengde av F).

Bevis
[tex]|(fg)(x) - (fg)(a)| = |f(x)g(x) - f(a)g(a)| =[/tex]

Legger til og trekker fra f(x)g(a)
[tex]|f(x)g(x) - f(x)g(a) \;+\; f(x)g(a) - f(a)g(a)| \leq [/tex]

Bruker trekantulikheten
[tex]\leq |f(x)g(x) - f(x)g(a)| \;+\; |f(x)g(a) - f(a)g(a)| = [/tex]

Faktoriserer, og får
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)|[/tex]

Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
[tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < 1[/tex]
som gir [tex]|f(x)| < M[/tex] (fordi f er kontinuerlig, har |f(x)| en øvre grense.

[tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]|g(x) - g(a)| < \frac{\epsilon}{2M}[/tex]

[tex]\delta_3[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < \frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}[/tex]

Tar vi til slutt [tex]\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)[/tex]
Får vi:
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)| <[/tex]

[tex]M\cdot \frac{\epsilon}{2M}\;+\; (|g(a)| + 1)\cdot\frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}\;=\; \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex]

Og beviset er fullført.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
nybegynner
Noether
Noether
Innlegg: 37
Registrert: 21/01-2008 17:50

Markonan skrev: Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
[tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < 1[/tex]
som gir [tex]|f(x)| < M[/tex] (fordi f er kontinuerlig, har |f(x)| en øvre grense.
Hva skjer hvis du setter [tex]E=[0,\infty)[/tex] og [tex]f(x)=x[/tex]?
Har [tex]f[/tex] en øvre grense?
Markonan
Euclid
Euclid
Innlegg: 2136
Registrert: 24/11-2006 19:26
Sted: Oslo

Ah, det var kanskje en litt lettvint antagelse.

Takk for at du tok deg tid til å lese gjennom. Skal ta en titt på det etter jeg har gjort det jeg må gjøre. :wink:
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
sEirik
Guru
Guru
Innlegg: 1551
Registrert: 12/06-2006 21:30
Sted: Oslo

Jeg gjorde vel noe sånt som å finne en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|f(x)| \le 2|f(a)|[/tex] når [tex]|x-a|<\delta[/tex]. Altså, i stedet for å bruke M.

Eller var det [tex]2|f(a)| + 1[/tex] jeg brukte kanskje? Eller bare [tex]|f(a)|+1[/tex]? Jeg kan jo alltids gå og se etter.
Markonan
Euclid
Euclid
Innlegg: 2136
Registrert: 24/11-2006 19:26
Sted: Oslo

Markonan skrev:Skal bevise at hvis f og g er kontinuerlige funksjoner, så er også fg kontinuerlig.

Vi definerer [tex]fg \; :\; E \rightarrow \bb{F}[/tex] ved
[tex](fg)(t) \;=\; f(t)g(t)[/tex] for alle [tex]t \in E[/tex]
(F er en ordnet kropp og E er en delmengde av F).

Bevis
[tex]|(fg)(x) - (fg)(a)| = |f(x)g(x) - f(a)g(a)| =[/tex]

Legger til og trekker fra f(x)g(a)
[tex]|f(x)g(x) - f(x)g(a) \;+\; f(x)g(a) - f(a)g(a)| \leq [/tex]

Bruker trekantulikheten
[tex]\leq |f(x)g(x) - f(x)g(a)| \;+\; |f(x)g(a) - f(a)g(a)| = [/tex]

Faktoriserer, og får
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)|[/tex]
Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
[tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]|g(x) - g(a)| < \frac{\epsilon}{2(|f(x)| + 1)}[/tex]

[tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < \frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}[/tex]

Uansett hvilke funksjoner og verdier vi velger så vil
[tex]|f(x)| < |f(x)| + 1[/tex] og

[tex]|g(a)| < |g(a)| + 1[/tex]

Tar vi til slutt [tex]\delta = \min(\delta_1, \delta_2)[/tex]
Får vi:
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)| <[/tex]

[tex](|f(x)| + 1)\cdot \frac{\epsilon}{2(|f(x)|+1)}\;+\; (|g(a)| + 1)\cdot\frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}\;=\; \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex]

Og beviset er fullført.

----------------------------------
Glemte denne litt bort. Ser dette riktig ut, eller bør jeg stille meg i skammekroken?
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Svar