Epsilon-delta bevis, kontinunerlige funksjoner
Lagt inn: 23/01-2008 15:05
Skal bevise at hvis f og g er kontinuerlige funksjoner, så er også fg kontinuerlig.
Vi definerer [tex]fg \; :\; E \rightarrow \bb{F}[/tex] ved
[tex](fg)(t) \;=\; f(t)g(t)[/tex] for alle [tex]t \in E[/tex]
(F er en ordnet kropp og E er en delmengde av F).
Bevis
[tex]|(fg)(x) - (fg)(a)| = |f(x)g(x) - f(a)g(a)| =[/tex]
Legger til og trekker fra f(x)g(a)
[tex]|f(x)g(x) - f(x)g(a) \;+\; f(x)g(a) - f(a)g(a)| \leq [/tex]
Bruker trekantulikheten
[tex]\leq |f(x)g(x) - f(x)g(a)| \;+\; |f(x)g(a) - f(a)g(a)| = [/tex]
Faktoriserer, og får
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)|[/tex]
Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
[tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < 1[/tex]
som gir [tex]|f(x)| < M[/tex] (fordi f er kontinuerlig, har |f(x)| en øvre grense.
[tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]|g(x) - g(a)| < \frac{\epsilon}{2M}[/tex]
[tex]\delta_3[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < \frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}[/tex]
Tar vi til slutt [tex]\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)[/tex]
Får vi:
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)| <[/tex]
[tex]M\cdot \frac{\epsilon}{2M}\;+\; (|g(a)| + 1)\cdot\frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}\;=\; \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex]
Og beviset er fullført.
Vi definerer [tex]fg \; :\; E \rightarrow \bb{F}[/tex] ved
[tex](fg)(t) \;=\; f(t)g(t)[/tex] for alle [tex]t \in E[/tex]
(F er en ordnet kropp og E er en delmengde av F).
Bevis
[tex]|(fg)(x) - (fg)(a)| = |f(x)g(x) - f(a)g(a)| =[/tex]
Legger til og trekker fra f(x)g(a)
[tex]|f(x)g(x) - f(x)g(a) \;+\; f(x)g(a) - f(a)g(a)| \leq [/tex]
Bruker trekantulikheten
[tex]\leq |f(x)g(x) - f(x)g(a)| \;+\; |f(x)g(a) - f(a)g(a)| = [/tex]
Faktoriserer, og får
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)|[/tex]
Fra definisjonen, kan vi velge deltaverdier:
[tex]\delta_1[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < 1[/tex]
som gir [tex]|f(x)| < M[/tex] (fordi f er kontinuerlig, har |f(x)| en øvre grense.
[tex]\delta_2[/tex] slik at [tex]|g(x) - g(a)| < \frac{\epsilon}{2M}[/tex]
[tex]\delta_3[/tex] slik at [tex]|f(x) - f(a)| < \frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}[/tex]
Tar vi til slutt [tex]\delta = \min(\delta_1, \delta_2, \delta_3)[/tex]
Får vi:
[tex]|f(x)||g(x) - g(a)| \;+\; |g(a)||f(x) - f(a)| <[/tex]
[tex]M\cdot \frac{\epsilon}{2M}\;+\; (|g(a)| + 1)\cdot\frac{\epsilon}{2(|g(a)| + 1)}\;=\; \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon[/tex]
Og beviset er fullført.