Geometri - "Simsons linje"

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Jeg satt en stund med å prøve å bevise dette teoremet, men lurer på om det er komplett. Hadde vært fint om noen kunne kikke litt på det.

Figur:

http://www.freewebs.com/jarle10/Simson%20line.JPG

Teorem:
"Simsons linje"-teoremet sier at normalene til hver side i en trekant fra et punkt på den omskrevne sirkelen skjærer sidene i tre punkt som er kolineære, altså at punktene ligger på en rett linje.

Bevis:
Vi har at [tex]\Delta ABC[/tex] er inskrevet i en sirkel, og [tex]P[/tex] er et tilfeldig punkt som ikke er noen av hjørnene i trekanten. (Se figur)

Tegn normalene fra [tex]P[/tex] til [tex][AB][/tex], [tex][AC][/tex] og [tex] [BC][/tex] som skjærer henholdsvis linjene i [tex]U, \ Y[/tex] og [tex]Z[/tex].

La [tex]E[/tex] være skjæringspunktet mellom [tex][PU][/tex] og [tex][AY][/tex].
La [tex]T[/tex] være skjæringspunktet mellom [tex][AC][/tex] og [tex][BP][/tex].

La [tex]\angle BZP=\alpha[/tex] og [tex]\angle APU=\beta[/tex].

Ettersom [tex]\angle BZP[/tex] og [tex]\angle BUP[/tex] er supplementære, er [tex]BZPU[/tex] en syklisk firkant (oversettelse?)[tex]\Rightarrow \angle PUZ = \alpha[/tex].

Ettersom [tex]\angle PAC[/tex] går over den samme buen som [tex]\angle PBZ, \ \angle PAC = \alpha \Rightarrow \angle UAR = 90 - (\alpha +\beta) \Rightarrow \angle ARU = \alpha + \beta \Rightarrow \angle PET = \alpha +\beta[/tex].

La [tex]\angle UZB = \gamma \Rightarrow \angle UPB = \gamma[/tex].

Ettersom [tex]\angle CYP[/tex] og [tex]\angle CZP[/tex] er supplementære, er [tex]CZPY[/tex] en syklisk firkant [tex]\Rightarrow \angle CPY = \gamma[/tex].

Ettersom [tex]\angle PAY =\angle PUY[/tex], er [tex]APYU[/tex] en syklisk firkant [tex]\Rightarrow \angle UYA = \beta[/tex].

Nå er [tex]\angle ETP =180-(\alpha +\beta + \gamma) \Rightarrow \angle PTY = \alpha +\beta +\gamma \Rightarrow \angle TPY=90-(\alpha+\beta+\gamma)[/tex]

Ettersom [tex]\angle BUZ=\angle BPZ[/tex] og [tex]\angle BUZ=90 - \alpha, \Rightarrow \angle BPZ = 90 - \alpha[/tex].
La [tex]\angle CPZ= \mu[/tex]. Nå er [tex]\angle CPZ+\angle TPC=\angle BUZ \Rightarrow \mu + 90-(\alpha +\beta)=90-\alpha \Rightarrow \mu = \beta \Rightarrow \angle CPZ = \beta \Rightarrow CYZ = \beta[/tex].

Ettersom [tex]\angle UYP+\angle PYZ = \beta +90 + 90-\beta = 180[/tex] , må [tex]U, \ Y[/tex] og [tex]Z[/tex] være på samme linje.

[tex]QED[/tex]
Svar