Den deriverte av sin x

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Hvordan beviser man at

[tex]sin^\prime x=cos x[/tex]
Karl_Erik
Guru
Guru
Innlegg: 1079
Registrert: 22/10-2006 23:45

Du kan jo prøve å sette det inn i definisjonen av den deriverte. For å finne grenseverdien av ((sin(x+h) - sin(x) ) / h) når h går mot null kan du jo først prøve å bruke formelen for sinus til en sum. Så er det nyttig å kunne noen grenseverdier som (sin x)/x og ((cos x) - 1)/x , begge der x går mot null. Hvis du ikke kan finne disse grenseverdiene kan det bli heller vanskelig.
arildno
Abel
Abel
Innlegg: 684
Registrert: 17/03-2007 17:19

Legg merke til at:
[tex]\frac{\cos(x)-1}{x}=\frac{\cos^{2}x-1}{x(1+\cos(x))}=-(\frac{\sin(x)}{x})^{2}*\frac{x}{1+\cos(x)}[/tex]
Mari89
Cantor
Cantor
Innlegg: 121
Registrert: 02/04-2007 22:09

[tex]f(x)=sin x \Rightarrow f^{\prime}(x)=\lim_{h\to\0}\frac{f(x+h)+f(x)}{h}=\lim_{h\to\0}\frac{sin(x+h)+sin(x)}{h}=[/tex]

[tex]\lim_{h\to\0}\frac{sinxcosh+cosxsinh+sinx}{h}=\lim_{h\to\0}\frac{sinx(cosh+1)+cosxsinh}{h}=[/tex]

[tex]\lim_{h\to\0}\frac{sinxcosh+1}{h}+\frac{cosxsinh}{h}=sinx\lim_{h\to\0}\frac{cosx+1}{h}+cosx\lim_{h\to\0}\frac{sinh}{h}=[/tex]

[tex]sinx \cdot 0+cos x \cdot 1=cos x[/tex]
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Hvorfor er (1): [tex]\lim _{h \to 0} \frac{\cos x+1}{h} = 0[/tex] og (2): [tex]\lim _{h \to 0} \frac{\sin x}{h}=1[/tex] ?

Hint: Bruk at [tex]\sin \theta < \tan \theta[/tex] og at [tex]\sin \theta < \theta[/tex] for alle [tex]0<\theta < \frac{\pi}{2}[/tex] målt i en sirkel med radius 1 ([tex]\theta[/tex] i radianer). Bevis først (2) og så (1).
Mari89
Cantor
Cantor
Innlegg: 121
Registrert: 02/04-2007 22:09

Kan ikke dette også veldig enkelt vises ved hjelp av L'hopitals regel?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Prøv, og se hvor feilen ligger. (Hva er det du antar at du vet når du gjøre det?)
drgz
Fermat
Fermat
Innlegg: 757
Registrert: 24/12-2008 23:22

Du kan eventuelt bruke definisjonen av sin(x) og cos(x):
[tex]sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/tex]
[tex]cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/tex]


[tex]\frac{d}{dx}sin(x) = \frac{d}{dx}\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} = \frac{ie^{ix}-(-i)e^{-ix}}{2i} = \frac{i(e^{ix}+e^{-ix})}{2i} = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} = cos(x)[/tex]
Gustav
Tyrann
Tyrann
Innlegg: 4555
Registrert: 12/12-2008 12:44

[tex] \frac{d}{dx}\sin(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\left \brace \frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}\right \rbrace \\ =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(\frac{2x+h}{2})\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\\=\cos(x)\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}=\cos(x)\,\![/tex]

[tex]\sin(x)<x<\tan(x)[/tex] for [tex]0<x\leq \frac{\pi}{2}[/tex].

[tex]\Rightarrow x\cos(x)<\sin(x)<x[/tex]

[tex]\Rightarrow \cos(x) < \frac{\sin(x)}{x}<1[/tex]

[tex]\Rightarrow1= \lim_{x\rightarrow 0^+}\cos(x)\leq \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{\sin(x)}{x}\leq1[/tex]

[tex]\Rightarrow \lim_ {x\rightarrow 0^+}\frac{\sin(x)}{x}=1[/tex]
Svar