Trekant med hele sider og vinkler

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Theorem: Det finnes ingen trekant med både heltallige sider og heltallige vinkler.

Finnes det et bevis for/mot dette?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Mot:

En likesidet trekant med side 1.

Hvis du mener radianer så kan du jo prøve å bruke at sin(1), cos(1) og tan(1) ikke er heltall.
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Enn virkårlige trekanter? Det ver mest det jeg siktet til.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Hva snakker du om?
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Virkårlige trekanter: trekanter sor ikke faller under verken av kategoriene likesidet, rettvinklet eller likebeint.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Theorem: Det finnes ingen trekant med både heltallige sider og heltallige vinkler.
En likesidet trekant med side 1 eksisterer. Teoremet er falskt.
=)
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 22:41

er det et teorem før man har bevist det uansett?

mener du i "vanlige (skole) gradevinkler" eller radianer?
espen180
Gauss
Gauss
Innlegg: 2578
Registrert: 03/03-2008 15:07
Sted: Trondheim

Gradevinkler ja. Det var det jeg hadde i tankene.
=)
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 22:41

jeg trodde vilkårlig var fritt valgbart da?
Solar Plexsus
Over-Guru
Over-Guru
Innlegg: 1685
Registrert: 03/10-2005 12:09

Espen 180 har rett i at det ikke finnes noen trekant som ikke er likesidet som har heltallige sider og vinkler (målt i grader).

Bevis: Anta at det finnes en slik trekant. Ettersom 1[tex]^{\circ}[/tex] tilsvarer [tex]\pi/180[/tex] radianer, må vinklene i trekanten være på formen [tex]n\pi/180[/tex], der [tex]n[/tex] er et naturlig tall.

Videre gir cosinussetningen at cosinus til alle tre vinklene i trekanten må være rasjonale tall ettersom trekantens sider er heltallige. Dessuten går det an å bevise at når både [tex]t[/tex] og [tex]cos(t\pi)[/tex] er rasjonale tall, må [tex]cos(t\pi) \in \{0, \, \pm1/2, \, \pm1\}.[/tex] Altså er en vinkel i denne trekanten enten 60[tex]^{\circ}[/tex], 90[tex]^{\circ}[/tex] eller 120[tex]^{\circ}[/tex]. Dette i kombinasjon med det faktum at vinkelsummen i en trekant er 180[tex]^{\circ}[/tex] impliserer at alle tre vinklene i trekanten er 60[tex]^{\circ}[/tex]. M.a.o. er trekanten likesidet. Denne motsigelsen fullfører beviset.
Svar