matematikk.net

Finn den logiske bristen i argumentet til Lazare Carnot (http://en.wikipedia.org/wiki/Lazare_carnot) om hvorfor negative tall ikke kan eksistere:

"For å få en negativ verdi må man fjerne en verdi fra ingenting.
Men å fjerne noe fra ingenting er det samme som å fjerne ingenting."

Vel som Euler sa det:

"We denote what a man really possesses by positive numbers, using, or understanding the sign +; whereas his debts are represented by negative numbers, or by using the sign - "

Beklager degresjonen!

Ja, en usakelig digresjon.

Jeg ser slik på det:
Tall er ikke noe som eksisterer eller ikke eksisterer, det er noe mennesker finner opp og definerer, og så bruker de dem til mer eller mindre nyttige ting. Noen typer tall må opplagt "eksistere", mens man kan stusse over "eksistensen" av andre tall. Det vesentlige er at det ikke går an å snakke om eksistensen av tall, fordi de er abstrakte ting som mennesker har funnet opp. De er bare nyttige hjelpemidler til å løse oppgaver.

De naturlige tallene er funnet opp, og er veldig nyttige når man skal holde styr på ting. Bonden har fem høns.

Tallet null er viktig fordi; en bonde må f.eks. si at han ikke har flere høner igjen fordi han har slakta alle.

De negative tallene er veldig nyttige, spesielt i økonomi, hvis man skal tenke enkle, praktiske ting. Bonden har minus fem kroner, og betydningen av det er at han skylder noen fem kroner - når han har gitt fem kroner til noen så har han null kroner.

De rasjonale tallene er enda mer brukbare, for med dem kan man regne mye mer nøyaktig. En bonde kan ha 1 1/2 liter melk i ei bøtte, og det er mer enn 1 liter. Forskjellen er jo opplagt.

De reelle tallene er igjen mer brukbare, mest pga teoretiske problemstillinger som bevisføring for at masse matematiske verktøy fungerer. Disse verktøyene brukes igjen for å løse praktiske problemer - derivasjon og eksistens av toppunker; bonden beregner hvor mange kyr han må ha for å få maksimal profitt.

De fleste stopper ved de reelle og vil ikke innse at komplekse tall "eksisterer", eller kan brukes. Men også disse er jo menneskeskapte, abstrakte ting som er definert og kan brukes til å løse nyttige ting. Innen blant annet elektronikk, tror jeg.


Konklusjonen må være at det er meningsløst å kverulere om eksistensen av tall, man må bare se på dem som ting som er definerte og som kan brukes til å løse problemer. At noen av egenskapene til tallene slett ikke stemmer med intuisjonen, må være en annen sak.

Problemet er at han bruker "en verdi" og "noe" som synonymer - og betydningen av disse skifter - først beskriver disse begrepene noe eksisterende, men skifter betydning til "noe tomt/ikke-eksisterende"

Argumentet er da som følger - "Å trekke noe negativt fra null er det samme som å fjerne noe eksisterende fra noe tomt. Men dette er det samme som å fjerne noe ikke-eksisterende fra noe tomt, (som resulterer i noe tomt.)"

Argumentet til Carnot bygger på aksiomet at ingenting minus noe eksisterende er ingenting, altså 0-a = 0 - Men dette bryter med aksiomene for en gruppe, da Carnots proposisjon impliserer at alle elementer i gruppen er lik 0, noe som ikke stemmer for heltallene.