Enkelt bevis, er det riktig ført?

[BMB]

La x og y være positive tall slik at x+y=2. Vis at

[tex] \frac {1}{x}+\frac {1}{y} \underline{<}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}[/tex]

Dette kan omformes til: [tex] \frac {x+y}{xy}\underline{<}\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}[/tex]

Disse uttrykkene er bare lik hvis x=y=1.

Sammenligner først tellerne:

V.S.: [tex]x+y=2[/tex]

H.S.: [tex]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=4-2xy=2(2-xy)[/tex]

[tex]xy\underline{<}1[/tex]. Da får vi at [tex]2(2-xy)\underline>2[/tex]

Nå gjenstår det bare å vise at:

[tex]x^2y^2 \underline{<}xy[/tex]

Her deler vi bare med xy på begge sider og får:

[tex]xy\underline{<}1[/tex] Dette vet vi stemmer.

Da har vi altså at [tex]x^2y^2 \underline{<}xy[/tex] og at [tex]x+y\underline{<}x^2+y^2[/tex]

Q.E.D.

Blei nå dette rett da ???

[mrcreosote]

Ser riktig ut det, men du bør forklare hvorfor [tex]xy\ge1[/tex] som du bruker noen ganger.

Du kan imidlertid ta en snarvei: Hvis du trikser litt med [tex]\frac {x+y}{xy}\le\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}[/tex], kan du danne deg et fullstendig kvadrat. Ser du hvordan?

(Kreativt med underline! \ge og \le funker også.)

[BMB]

Aha, nå ser jeg det. Morgenstund har gull i munn!

[tex] \frac{x+y}{xy} \le \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}[/tex]

[tex] {x+y} \le \frac{x^2+y^2}{xy}[/tex]

[tex] 2 \le \frac{x^2+y^2}{xy}[/tex]

[tex] 2xy \le {x^2+y^2}[/tex]

[tex] 0 \le {x^2+y^2-2xy}[/tex]

[tex] 0 \le (x-y)^2[/tex]

Her ser man at uttrykkene bare blir lik hvis [tex]x=y=1[/tex], og at høyresiden blir større for alle mulige verdier av x og y, som er [tex]<0,2>[/tex]. Ingenious!

Angående mitt resonnement for at [tex]xy \le 1[/tex], er det veldig lite elegant. Jeg forklarer det geometrisk: jeg vet at hvis man skal lage en firkant (for eksempel ved inngjerding av et gjorde), og har en gitt omkrets til disposisjon, vil det alltid være kvadratet som har størst areal...Finnes det en mer elegant forklaring? Eller kanskje beviset for det burde inngått som en del av dette beviset?

Takk for kommentaren Mr. Creosote

[mrcreosote]

Ser bra ut igjen.

Et geometrisk bevis er helt fint det, så lenge du forklarer godt. Det er også ekvivalent til [tex](\sqrt x-\sqrt y)^2\ge0[/tex]. Ta en titt på http://en.wikipedia.org/wiki/AM-GM_ineq ... inequality når du først er i gang!

[Magnus]

Det der var vel en abelfinaleoppgave i år, og vi trakk på at det ikke ble bevist at xy<=1, da utfrodringen ved å bevise det er nesten like stor som oppgaven i seg selv. En grei måte å gjøre det er å skrive x+y = 2. La x=1-r og y= 1+r Da er det åpenbart at xy = (1-r)(1+r) = 1-r^2 <= 1. Eventuelt kan man gjøre slik som mrcreosote skriver, men den fremgangsmåten skal jeg ikke ødelegge for deg - den kan du prøve deg på selv: )

[mrcreosote]

Og løsningsforslag kommer snart?

[Magnus]

LF ligger da ute: http://abelkonkurransen.no/oppgaver/200 ... sit-no.pdf

[mrcreosote]

Ah, kikka bare på forsida, takk.

[BMB]

Jeg kan jo prøve meg på det geometriske beviset:

Vi har et rektangel med omkrets 2n og sider x og y=(n-x).

[tex]A(x)=xy=x(n-x)=-x^2+nx[/tex]

Siden andregradskoeffisienten har negativt fortegn har grafen et toppunkt.

[tex]A^,(x)=-2x+n[/tex]

Setter uttrykket lik 0 for å finne toppunktet:

[tex]-2x+n=0[/tex]

[tex]x= \frac {n}{2}[/tex]

Grafen har altså et toppunkt når [tex]x=\frac {n}{2}=y[/tex]. Da er rektangelet et kvadrat. Da får vi altså at [tex]xy \le \frac {n^2}{4}[/tex].

Beviste jeg det jeg skulle nå?... Et raskt lite spørsmål: hvis man skulle gjerde inn et område med en gitt lengde gjerde, ville jeg anta at måten å gjerde inn størst mulig areal på ville være å å lage regulære figurer, helst med så mange hjørner som mulig (og aller helst en sirkel). Det stemmer vel?

Prøver å gjøre det med det som sto på wikipedia:

[tex]xy \le 1[/tex]

Siden [tex]x+y=2[/tex] får vi:

[tex]xy \le \frac{x+y}{2}[/tex]

Her lurer jeg litt: den eneste måten å få det til å stemme, er å ta kvadratroten av bare venstresida. Jeg kan vel ikke gjøre det? Hvordan skal jeg eller komme fram til at: [tex] \frac {x+y}{2} \ge \sqrt {xy}[/tex] som vil si at [tex] (\sqrt {x}- \sqrt {y})^2 \ge 0[/tex]? Antar at jeg angriper problemet på litt feil måte...noen hjelp/hint?

Ser dog at Magnus sitt bevis var en god del enklere.

[=)]

[tex]\frac {x+y}{2} \ge \sqrt {xy}[/tex]

er en konsekvens av AM-GM en veldig kjent ulikhet, tror mrcreosote nevnte det?

[BMB]

Skjønner, derfor kan man jo så klart bare bruke det direkte... .

Takk for hjelp alle sammen, lærte mye av dette .

[Bogfjellmo]

joa, AM-GM kan jo brukes direkte, men tror creosote mente at det kan gjøres med mer elementære metoder. [tex](\sqrt{x} - \sqrt{y})^2[/tex] er naturligvis større enn eller lik null, da det er et kvadrat.