matematikk.net

Hei folkens. Jeg kjeder meg, så jeg tenkte jeg kunne prøve å finne en generell løsning på et ligningssett med to ukjente. Slik var fremgangsmåten min.

[tex]a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \\ x=\frac{c_1-b_1y}{a_1} \\ a_2\left(\frac{c_1-b_1y}{a_1}\right)+b_2y=c_2 \\ \frac{a_2c_1}{a_1}-\frac{(a_2b_1)y}{a_1}+b_2y=c_2 \\ (a_1b_2-a_2b_1)y=a_1c_2-a_2c_1 \\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1} \\ a_1x+\frac{a_1b_1c_2-a_2b_1c_1}{a_1b_2-a_2b_1}=c_1 \\ x=\frac{c_1}{a_1}-\frac{a_1b_1c_2-a_2b_1c_1}{a_1^2b_2-a_1a_2b_1}[/tex]

Det jeg kom fram til var altså:
[tex]x=\frac{c_1}{a_1}-\frac{a_1b_1c_2-a_2b_1c_1}{a_1^2b_2-a_1a_2b_1} \\ y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}[/tex]

Det første jeg gjorde var å sette dette inn i et tilfeldig ligningssett for å sjekke hvorvidt dette stemte.

Ligningssettet var
[tex]2x+y=5 \\ 2x-y=3[/tex]

Løsningene over er x=2 og y=1, men når jeg prøvde med løsningen jeg hadde laget over ble det x=-2 og y=9/5.

Jeg har åpenbart gjort feil ett sted, men kan ikke se hvor. Jeg vet er en litt rotete utregning. Kan noen hjelpe meg?

Dette er litt OT espen, men siden du er så ivrig og flink kan jeg introdusere deg for en fiffig løsningsmetode for lineære likningssystemer.

Dette lærer man vel på høyskole/universitet, men er ikke noe vanskelig. Bare et fint verktøy .
Kalles Cramers regel og da brukes determinanter for å bestemme løsninga av systemet.

[tex]x= \frac{\left| \begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right|}=\frac{b_2\cdot c_1\,-\,b_1\cdot c_2}{a_1\cdot b_2\,-\,a_2\cdot b_1}[/tex]

[tex]y= \frac{\left| \begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix} \right|}{\left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right|}=\frac{a_1\cdot c_2\,-\,a_2\cdot c_1}{a_1\cdot b_2\,-\,a_2\cdot b_1}[/tex]

Søk på Cramers regel og determinant hvis du er interessert i mer info.


sett inn for ditt likningssystem, og sjekk...

Du trenger bare å massere litt til på formelen for x, så ender du opp med determinanten til Janhaa. Faktoriser nevner og finn fellesnevner. Resten er plankekjøring

Leste litt om determinanter. Jeg market meg noen stilige aspekter ved det (f.eks. Areal av parallellogram).

Ja oss se om jeg har fått det med meg.

[tex]A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right] \\ |A|=\left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}[/tex]

Ved 3x3-matrisser brukes noen som kalles "cofactor expansion". JEg har ikke satt meg inn i det, men ifølge eksempelet på Wikipedia burde det være noe slikt som

[tex]A=\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}\right] \\ |A|=a_{11}\left|\begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{matrix}\right|-a_{12}\left|\begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{matrix}\right|+a_{13}\left|\begin{matrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{matrix}\right|=a_{11}(a_{22}\cdot a_{33})-a_{11}(a_{23}\cdot a_{32})-a_{12}(a_{21}\cdot a_{33})+a_{12}(a_{23}\cdot a_{31})+a_{13}(a_{21}\cdot a_{32})-a_{13}(a_{22}\cdot a_{31})[/tex]


Stemmer dette?

Det ser riktig ut det. Den kan også faktoriseres til:

[tex]a_{11}(a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) - a_{12}(a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13}(a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})[/tex]

Det finnes ett par videoer på youtube viser en enkel måte å huske rekkefølgen på:

http://youtube.com/watch?v=kau7pUqmXgU

Der ser du han setter opp determinanten, pluss at den skriver kolonne 1 og 2 en gang til ved siden av, også trekker han streker. Han tegner ikke de siste strekene, men du ser hvor de skal være. Du skjønner systemet om du ser den

Og en husk at man kan sjekke om likningssystemet har løsning, ved å betrakte determinanten. For ditt første spm., som ga 2x2 matrisa.

[tex]\det\left( \begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix} \right)=\left| \begin{matrix} a_1 & b_1 \\a_2 & b_2 \end{matrix}\right|\,\neq 0[/tex]

Men dette gjelder jo generelt, at for matrisa A, må det(A) [symbol:ikke_lik] 0
for at likningssystemet har løsning.

Jeg kom nettop på noe - hva om man prøver å bruke gauss-eliminasjon for å finne en generell løsning?

Vi gir ligningsettet slik:
[tex]\left[\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}c_1 \\ c_2\end{matrix}\right][/tex]

Hvis vi kaller den første ligningen [tex]A[/tex] og den andre [tex]B[/tex] Blir det da riktig å trekke [tex]\frac{\ln(a_2)}{\ln(a_1)}\cdot A[/tex] fra [tex]B[/tex] for å finne [tex]y[/tex]?


Vil jeg til slutt sitte igjen med samme svar som du fikk ved determinanter?

Prøv å nå isolere [tex]\left[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right] [/tex] ved å finne inversen til 2x2 matrisen.

Isolere den? Jeg har inversen til matrisen, men hva gjør jeg med den?

Gang på venstre side av begge sidene av likningen med inversen og se hva du får.

espen180 skrev:Isolere den? Jeg har inversen til matrisen, men hva gjør jeg med den?

Du har ikke regna ut den inverse matrisa

[tex]A\vec X\,=\, B[/tex]

[tex]\vec X\,=\,A^{-1}B[/tex]

fordi [tex]\,\,A^{-1}A=AA^{-1}=I[/tex]

der I er identitetsmatrisa med 1 på hoveddiagonalen.

EDIT; supplerte