Bevis formel for sin 3v
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
OK, Mr Wentworth, du har vært flink gutt i dag. Grattis med firesifra ant innlegg også.Wentworth skrev:Hvor kan man lære denne utledningen du kom med Janhaa? Da tenker jeg på konkret hvordan man bruker formelen, setter pris på hjelpen.Ble faktisk fantasert av im tegnet der
Skal ta dette omstendelig for deg:
de Moivre formel'n forteller at:
[tex](\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)[/tex]
Vi vil finne sin(3x) og benytter relasjonen over.
Forøvrig veit vi
[tex]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/tex]
og i oppgava her
[tex]e^{i3x}=\cos(3x)+i\sin(3x)=(cos(x)+i\sin(x))^3[/tex]
(altså de Moivres formel)
høyre sida bruker vi Pascals trekant på:
[tex]e^{3ix}=\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)+3i^2\cos(x)\sin^2(x)+i^3\sin^3(x)[/tex]
[tex]e^{3ix}=\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x)[/tex]
nå er vi bare interessert i sin(3x), dvs den imaginære delen av det komplekse tallet:
[tex]\Im e^{3ix}=\Im (\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x))[/tex]
bare ta med leddene over som inneholder i = [symbol:rot](-1)
[tex]\Im e^{3ix}=\sin(3x)=3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)[/tex]
resten er greit vha sin[sup]2[/sup](x) + cos[sup]2[/sup](x) = 1
[tex]\Im e^{i3x}=\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)[/tex]
-----------------------------------------------
Prøv denne metoden på cos(3x), og uttrykk denne bare ved cosinus
Sist redigert av Janhaa den 26/06-2008 01:22, redigert 1 gang totalt.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
hehe, ja etter hjelp fra de godeste her og med 17 endringer greide jeg visst den hehe,takk for denne janhaa , nå skal jeg virkelig sette meg i det.
, nå skal jeg virkelig sette meg i det.Det er kun to måter å leve livet på; det ene er å tro at alt er et mirakel og det andre er å tro at ingenting er et mirakel.
____________
Albert Einstein.
____________
Albert Einstein.
-
flush_bingo
- Fibonacci
- Innlegg: 3
- Registrert: 21/10-2008 19:39
sin3v
=sin(v+2v)
=sinv cos2v + cosv sin2v
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + cosv 2sinv cosv
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv cos[sup]2[/sup]v
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv (cos2v+sin[sup]2[/sup]v)
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv (1-2sin[sup]2[/sup]v+sin[sup]2[/sup]v)
=sinv-2sin[sup]3[/sup]v+2sinv-4sin[sup]3[/sup]+2sin[sup]3[/sup]v
=3sinv-4sin[sup]3[/sup]v
Der er den enkleste framgangsmåten, hvis man kun har oversikt over de forskjellige sinus og cosinussetningene
=sin(v+2v)
=sinv cos2v + cosv sin2v
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + cosv 2sinv cosv
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv cos[sup]2[/sup]v
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv (cos2v+sin[sup]2[/sup]v)
=sinv(1-2sin[sup]2[/sup]v) + 2sinv (1-2sin[sup]2[/sup]v+sin[sup]2[/sup]v)
=sinv-2sin[sup]3[/sup]v+2sinv-4sin[sup]3[/sup]+2sin[sup]3[/sup]v
=3sinv-4sin[sup]3[/sup]v
Der er den enkleste framgangsmåten, hvis man kun har oversikt over de forskjellige sinus og cosinussetningene