Wentworth skrev:Hvor kan man lære denne utledningen du kom med Janhaa? Da tenker jeg på konkret hvordan man bruker formelen, setter pris på hjelpen.Ble faktisk fantasert av im tegnet der
OK, Mr Wentworth, du har vært flink gutt i dag. Grattis med firesifra ant innlegg også.
Skal ta dette omstendelig for deg:
de Moivre formel'n forteller at:
[tex](\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)[/tex]
Vi vil finne sin(3x) og benytter relasjonen over.
Forøvrig veit vi
[tex]e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)[/tex]
og i oppgava her
[tex]e^{i3x}=\cos(3x)+i\sin(3x)=(cos(x)+i\sin(x))^3[/tex]
(altså de Moivres formel)
høyre sida bruker vi Pascals trekant på:
[tex]e^{3ix}=\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)+3i^2\cos(x)\sin^2(x)+i^3\sin^3(x)[/tex]
[tex]e^{3ix}=\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x)[/tex]
nå er vi bare interessert i sin(3x), dvs den imaginære delen av det komplekse tallet:
[tex]\Im e^{3ix}=\Im (\cos^3(x)+3i\cos^2(x)sin(x)-3\cos(x)\sin^2(x)-i\sin^3(x))[/tex]
bare ta med leddene over som inneholder i = [symbol:rot](-1)
[tex]\Im e^{3ix}=\sin(3x)=3\cos^2(x)\sin(x)-\sin^3(x)[/tex]
resten er greit vha sin[sup]2[/sup](x) + cos[sup]2[/sup](x) = 1
[tex]\Im e^{i3x}=\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin^3(x)[/tex]
-----------------------------------------------
Prøv denne metoden på cos(3x), og uttrykk denne bare ved cosinus