matematikk.net

Bevis at volumet av et prisme med høyde h og grunnflate G er gitt ved [tex]V=Gh[/tex]

Prøver;

Siden volumet for prisme er gitt ved[tex]V=l \cdot b \cdot h=Gh[/tex]
Er [tex]A(x)=Gh[/tex] Da er;

[tex]V=\int_{0}^{1} Gh \;dx=[Ghx]_{0}^{1}=(Gh \cdot 1)-(Gh \cdot 0)=Gh[/tex]

Riktig å bevise det slik?

På forhånd takk!

Niks, beklager. Det du har gjort er å integrere konstantfunksjonen Gh med hensyn på x fra 0 til 1. Dette er det samme som å finne arealet under linjen x=Gh fra x=0 til x=1 og funnet ut at dette arealet blir Gh. Det er ikke helt det samme som det du ville vise, desverre. Det virker litt som om du har hørt at dette kan bevises ved integrasjon og bare prøvd deg litt fram uten egentlig å tenke over hva du gjør. Prøv å forstå hva du faktisk gjør når du integrerer og hvordan du kan bruke dette til å bevise formelen din.

Hmm...

Her startet du jo med å anta at det du skal bevise er riktig, og bruker det som både slutt- og startprodukt i en algebraisk framgangsmåte. Det blir feil.

Tenk deg hva et prisme er. Forestill deg en firkant som er grunnflaten, og så legger vi en mindre firkant oppå, og så videre, helt til vi kommer opp til høyden. Når disse firkantene blir veldig lave, vil vi få et glatt prisme.

Et prisme trenger ikke ha en kvadratisk grunnflate. Ethvert regulært polygon kan være grunnflaten i et prisme.

Slik? ;

[tex]\int_{0}^{h} Gx \; dx=G \int_{0}^{h}x \; dx=G[\frac{1}{2}x^2]_{0}^{h}=G(\frac{1}{2}h^2)-(0)= Gh[/tex]

Nå gjør du samme feilen i som i stad. Du starter med en antakelse, og er glad når den samme antakelsen kommer ut igjen som resultat.

Hva skal det stå i integranden?

Hadde du fått vite det hadde litt av poenget vært borte. Det virker egentlig som om du har liten anelse om hva du driver med her. Du har fått med deg at dette kan bevises ved integrasjon, og kjører i vei med det ene forsøket etter det andre uten å ha helt kontroll på hva det er du gjør. Prøv nå å tenke litt over hva du vil finne. Du får et prisme med en grunnflate og en høyde. Arealet av grunnflaten er A, og høyden er h. Du vil finne volumet av denne. Hvordan går du fram?

Lengde ganger bredde ganger høyde. Der l og b er grunnflaten og høyden er h som gir Gh.

Bruker integrasjon;
[tex]\int_{0}^{G} h dx=[hx]_{0}^{G}=(h \cdot G)-(h \cdot 0)=hG=Gh[/tex] ?

Nå gjør du samme feilen som i stad. Du starter med formelen og ender med formelen.

Prøv å se andre lignende bevis, f.eks beviset til formelen til en pyramida, osv, så kan du skjønne hvordan det gjøres.

Ender jo med at volumet er Gh.

Du kan tenke deg at du har en grunnflate som er kvadrat og har sidelengde 1 ,vi kaller dette for G. Og høyden h.

Så ser du formelen over og ser at det stemmer.

Jeg tenkte slik,vis eventuelt hvordan du tenker.