Hei!
Får til enkle induksjonsbevis, men her har jeg satt meg fast.
Bevis ved induksjon at:
[sub] n[/sub]
[symbol:sum] (2k-1) = n^2
[sup]k=1[/sup]
All hjelp tas i mot med takk
Induksjonsbevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Er nokså rusten selv, men får prøve:
[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2[/tex]
Sjekker for n = 1:
[tex]\sum_{k=1}^1 (2k-1) = 2-1 = 1 = 1^2 \ \Rightarrow \ \rm{OK}[/tex]
n = 2:
[tex]\sum_{k=1}^2 (2k-1) = 2-1 + 4-1 = 1+2 = 4 = 2^2 \ \Rightarrow \ \rm{OK}[/tex]
[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 \ \rm{(1)}[/tex]
Antar at det stemmer for n=l:
[tex]\sum_{k=1}^l (2k-1) = l^2 \ \rm{(2)}[/tex]
Sjekker om det stemmer for n=l+1:
[tex]\sum_{k=1}^{l+1} (2k-1) = (l+1)^2[/tex]
Som vi har fra (1) gir det oss:
[tex]1+3+5 + \cdots \ + (2l-1) + (2(l+1)-1) = (l+1)^2[/tex]
Som igjen gir:
[tex]\large\left(\sum_{k=1}^{l} (2k-1)\large\right) + 2l+1 = (l+1)^2[/tex]
Setter inn (2) og får:
[tex]l^2+2l+1 = (l+1)^2[/tex]
Som jo stemmer, dermed er det bevist at:
[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2[/tex]
[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2[/tex]
Sjekker for n = 1:
[tex]\sum_{k=1}^1 (2k-1) = 2-1 = 1 = 1^2 \ \Rightarrow \ \rm{OK}[/tex]
n = 2:
[tex]\sum_{k=1}^2 (2k-1) = 2-1 + 4-1 = 1+2 = 4 = 2^2 \ \Rightarrow \ \rm{OK}[/tex]
[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 \ \rm{(1)}[/tex]
Antar at det stemmer for n=l:
[tex]\sum_{k=1}^l (2k-1) = l^2 \ \rm{(2)}[/tex]
Sjekker om det stemmer for n=l+1:
[tex]\sum_{k=1}^{l+1} (2k-1) = (l+1)^2[/tex]
Som vi har fra (1) gir det oss:
[tex]1+3+5 + \cdots \ + (2l-1) + (2(l+1)-1) = (l+1)^2[/tex]
Som igjen gir:
[tex]\large\left(\sum_{k=1}^{l} (2k-1)\large\right) + 2l+1 = (l+1)^2[/tex]
Setter inn (2) og får:
[tex]l^2+2l+1 = (l+1)^2[/tex]
Som jo stemmer, dermed er det bevist at:
[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2[/tex]
-
- Pytagoras
- Innlegg: 9
- Registrert: 29/08-2008 14:16
Tusen takk for svar!
Jeg hadde kommet frem til venstresiden l[sup]2[/sup]+2l+1, men hadde glemt å sette inn l+1 på høyresiden. Prøvde derfor å få venstresiden til å bare bli l[sup]2[/sup].
Men nå ser jeg hvordan det skulle gjøres. Takk igjen[/sup]
Jeg hadde kommet frem til venstresiden l[sup]2[/sup]+2l+1, men hadde glemt å sette inn l+1 på høyresiden. Prøvde derfor å få venstresiden til å bare bli l[sup]2[/sup].
Men nå ser jeg hvordan det skulle gjøres. Takk igjen[/sup]