matematikk.net

Hei!

Får til enkle induksjonsbevis, men her har jeg satt meg fast.

Bevis ved induksjon at:

[sub] n[/sub]
[symbol:sum] (2k-1) = n^2
[sup]k=1[/sup]

All hjelp tas i mot med takk

Er nokså rusten selv, men får prøve:

[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2[/tex]

Sjekker for n = 1:

[tex]\sum_{k=1}^1 (2k-1) = 2-1 = 1 = 1^2 \ \Rightarrow \ \rm{OK}[/tex]

n = 2:

[tex]\sum_{k=1}^2 (2k-1) = 2-1 + 4-1 = 1+2 = 4 = 2^2 \ \Rightarrow \ \rm{OK}[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1) = n^2 \ \rm{(1)}[/tex]

Antar at det stemmer for n=l:

[tex]\sum_{k=1}^l (2k-1) = l^2 \ \rm{(2)}[/tex]

Sjekker om det stemmer for n=l+1:

[tex]\sum_{k=1}^{l+1} (2k-1) = (l+1)^2[/tex]

Som vi har fra (1) gir det oss:

[tex]1+3+5 + \cdots \ + (2l-1) + (2(l+1)-1) = (l+1)^2[/tex]

Som igjen gir:

[tex]\large\left(\sum_{k=1}^{l} (2k-1)\large\right) + 2l+1 = (l+1)^2[/tex]

Setter inn (2) og får:

[tex]l^2+2l+1 = (l+1)^2[/tex]

Som jo stemmer, dermed er det bevist at:

[tex]\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2[/tex]

Tusen takk for svar!

Jeg hadde kommet frem til venstresiden l[sup]2[/sup]+2l+1, men hadde glemt å sette inn l+1 på høyresiden. Prøvde derfor å få venstresiden til å bare bli l[sup]2[/sup].

Men nå ser jeg hvordan det skulle gjøres. Takk igjen[/sup]