matematikk.net

Bruk produktregelen, [tex]\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx}+ v\frac{du}{dx}[/tex] og at [tex]\frac{d}{dx}(x) = 1 [/tex] for å vise at [tex]\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}[/tex] for hvert positive heltall n.

Hvor starter jeg her?

Kan vel begynne med at [tex]x^n=x_1\cdot x_2\cdot ....\cdot x_n[/tex]

Oppgaven sier samtidig at du skal bruke at [tex](x)^\prime=1[/tex]

En alternativ måte kan være logaritmisk derivasjon, MEN OPPGAVA ETTERSPØR IKKE DETTE

[tex]y=x^n[/tex]

tar ln på begge sider

[tex]\ln(y)=\ln(x^n)=n\ln(x)[/tex]

og deriverer logaritmisk:

[tex]{1\over y}\cdot y^,=n\cdot {1\over x}[/tex]

[tex]y^,=n\cdot x^n \cdot x^{-1}=nx^{n-1}[/tex]

Tenk induksjon. [tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}x^{n+1} = \frac{\rm{d}}{\rm{d}x}x \cdot x^{n} = ...[/tex]

Nå har jeg løst den. Satt x som det ene leddet og deriverte med produktregelen. Men den regelen de beskriver stemmer ikke med regelen for derivasjon av produkt vel?

blir det ikke u v'+v u'

Hvis jeg har forstått notasjonen riktig, så skal det som kommer nå gi fullstendig mening:

[tex]\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx}+ v\frac{du}{dx}[/tex]

Hvis vi lar [tex]dx \rightarrow 0[/tex] vil [tex]\,\,\frac{dv}{dx} \rightarrow v^\prime[/tex], [tex]\frac{du}{dx} \rightarrow u^\prime[/tex] og [tex]\frac{d}{dx}(uv) \rightarrow (uv)^\prime[/tex]


[tex]\lim_{dx \rightarrow 0}\, \frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx}+ v\frac{du}{dx} \,\,\,\Rightarrow\,\,\, (uv)^\prime = u\cdot v^\prime + u^\prime \cdot v[/tex]

(Jeg kan forresten slenge opp bevisene for den deriverte av en sum, kvotientregelen og kjerneregelen også, hvis noen vil ha det. Jeg fant dem nemlig i en bok da jeg ryddet her om dagen.)

Jeg tror du har misforstått notasjonen litt.

[tex]\lim_{\delta x \to 0}\frac{\delta}{\delta x}=\frac{d}{dx}[/tex]

Ser man grafisk på det, så er [tex]\frac{\delta}{\delta x}[/tex] stigningstallet til en sekant som skjærer grafen i to punkter. [tex]\frac{d}{dx}[/tex] er stigningstallet til en tangent.

Jeg har interesse av å se de andre bevisene!

P.S.

Vanligvis så skrives vel [tex]\delta[/tex] som en "trekant", altså den bokstaven som tilsvarer D i vårt alfabet; men vet ikke hvordan man skriver det i TEX.

BMB skrev:Vanligvis så skrives vel [tex]\delta[/tex] som en "trekant", altså den bokstaven som tilsvarer D i vårt alfabet; men vet ikke hvordan man skriver det i TEX.

\Delta x [tex]\Delta x[/tex]

BMB skrev:Jeg tror du har misforstått notasjonen litt.

[tex]\lim_{\delta x \to 0}\frac{\delta}{\delta x}=\frac{d}{dx}[/tex]

Da blir det vel bare slik(?):

[tex]\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx}+ v\frac{du}{dx}[/tex]

[tex]\,\,\frac{dv}{dx} \rightarrow v^\prime[/tex], [tex]\frac{du}{dx} \rightarrow u^\prime[/tex] og [tex]\frac{d}{dx}(uv) \rightarrow (uv)^\prime[/tex]

[tex](uv)^\prime = u\cdot v^\prime + u^\prime \cdot v[/tex]

BMB skrev:Jeg har interesse av å se de andre bevisene!

I'm on it.

gill skrev:Bruk produktregelen, [tex]\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx}+ v\frac{du}{dx}[/tex] og at [tex]\frac{d}{dx}(x) = 1 [/tex] for å vise at [tex]\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}[/tex] for hvert positive heltall n.

Hvor starter jeg her?

Vi bruker induksjon.

Vi tester at dette stemmer for n = 1:

[tex]\frac{d}{dx}(x^1) = 1x^{1-1} = 1[/tex] dvs, det stemmer

Så antar vi at den stemmer for n = k, da må vi se om den stemmer for n = k+1 (det er her produktregelen kommer inn)

[tex]\frac{d}{dx}(x^{k+1}) = \frac{d}{dx}(x^k*x) = x^{k} \frac{dx}{dx}+ x\frac{d}{dx}(x^k) = x^{k}*1 + k*x^{k-1}*x = (k+1)x^{k} = nx^{x-1}[/tex]

Vi har vist at formelen stemmer for alle heltall n større eller lik 1

Nå har du kun bevist det for heltall. For å generalisere det til [tex]n \in \mathbb{R}[/tex] kan man bruke at [tex]x^n=e^{n\ln{x}}[/tex]