matematikk.net

Hvis du har [tex]|2\cdot e^{-it}|[/tex], er du enig i at det må bli 2? På kompleks form er modulus av tallet lik absoluttverdien av det reelle tallet som er ganget med potensen av e. Hvis du ser på [tex]e^{-it}(|z| - |z|^{-1})[/tex], kan du se hva som må være modulus av dette?

Du slipper helt å blande inn [tex]e^{-it}[/tex] i det beviset der.

Husk at [tex]|z|[/tex] er absoluttverdien til [tex]a+ib = sqrt{a^2 + b^2}[/tex], og at z med streken over, er den komplekskonjugerte av z, dvs. a - ib.

Også er det bare å regne ut

[tex](|z| - |z|^{-1})[/tex]?

Dette er min utregning, ikke les hvis du vil finne ut av det på egenhånd...

Jeg fant ingen god måte å føre inn konjugasjon i tex, så merk at den første z'en er konjugert.

[tex]|z-\frac{1}{z}| = ||z| - \frac{1}{|z|}|[/tex]

Så tar vi absoluttverdien av det som trengs, samt regner om alle z på formen a+ib, legg merke til hva som skjer med den første z'en, ettersom den er konjugert.

[tex]|(a-ib)-\frac{1}{(a+ib)}| = sqrt{a^2+b^2} - \frac{1}{sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

Denne omregningen tar noen snarveier, men i utgangspunktet blir det å utvide leddene, og legge dem sammen.

[tex]\frac{a^2+b^2-1}{|(a+ib)|} = \frac{a^2+b^2-1}{sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

Nå ser vi noe som begynner å ligne på det andre her. Nå tar vi bare absoluttverdien under brøken på venstresiden, og voila, du har et bevis

[tex]\frac{a^2+b^2-1}{sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a^2+b^2-1}{sqrt{a^2+b^2}}[/tex]

Saxon skrev:[tex](|z| - |z|^{-1})[/tex]?

Akkurat. Det er jo det reelle tallet som er ganget med [tex]e^{-it}[/tex].