Dels ønsket bevis, dels utfordring.
Vis at alle tall [tex]n\in\mathbb{N}\wedge n>1[/tex] kan faktoriseres til et produkt av primtall som er unikt for [tex]n[/tex]. Og samtidig, vis at hvert enkelt tall [tex]n[/tex] kun kan primtallfraktoriseres på én måte.
Ønsket bevis (Aritmetikk, Tallteori)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Anta at vi det for et tall z fins to ulike måter å primtallsfaktorisere tallet på. Produktene av de ulike primtallsfaktorene av z må opplagt være like.
[tex]a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot...\cdot a_n=b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot...\cdot b_m[/tex]
Da må [tex]a_1|b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot...\cdot b_m[/tex], og a må være lik en av primfaktorene på høyre side. Anta uten tap av generalitet at [tex]a_1=b_2[/tex]. Vi forkorter på begge sider med disse og fortsetter slik med resten av primfaktorene. Til slutt må vi jo ende opp med 1 på den ene siden av likhetstegnet. Da kan det umulig stå andre primfaktorer igjen på den andre siden, ettersom de da måtte være faktorer i 1. Faktoriseringene er derfor like, og derfor kan det ikke finnes to ulike måter å faktorisere z på.
q.e.d.
[tex]a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot...\cdot a_n=b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot...\cdot b_m[/tex]
Da må [tex]a_1|b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot...\cdot b_m[/tex], og a må være lik en av primfaktorene på høyre side. Anta uten tap av generalitet at [tex]a_1=b_2[/tex]. Vi forkorter på begge sider med disse og fortsetter slik med resten av primfaktorene. Til slutt må vi jo ende opp med 1 på den ene siden av likhetstegnet. Da kan det umulig stå andre primfaktorer igjen på den andre siden, ettersom de da måtte være faktorer i 1. Faktoriseringene er derfor like, og derfor kan det ikke finnes to ulike måter å faktorisere z på.
q.e.d.
Dette er aritmetikkens fundamentalteorem. Her har du et bevis.
Takker, daofeishi! 