Bevise kontinuitet i øvre/nedre integral

Mange finner bevis vanskelig. Her er rom for spørsmål vedrørende bevis, og for å dele dine bevis med andre. Vi tenker først og fremst videregående nivå, men det er ingen begrensninger her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
kjey
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 17
Registrert: 09/09-2008 15:40

Jeg har aldri vært noen ekspert i å bevise påstander, men tenkte jeg skulle gjøre et forsøk på ukens kanskje vanskeligste ukesoppgave. Jeg er nesten sikker på at beviset blir feil ved ett eller annet punkt fordi jeg muligens har med en feil antagelse, men skriver opp alt jeg har kommet fram til fordet.

OPPGAVE

I denne oppgaven skal man komme fram til at dersom [tex]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/tex] er begrenset, så er funksjonene

[tex]G(x) = \overline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] og [tex]H(x) = \underline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] kontinuerlige.

A) Anta at [tex]|f(x)|\le M[/tex] for alle [tex]x \in [a,b][/tex]. Vis at for alle [tex]x_{1},x_{2}\in [a,b][/tex] er [tex]|G(x_1) - G(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex] og [tex]|H(x_1) - H(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex].

B) Bruk (A) og definisjonen av kontinuitet til å vise at [tex]G[/tex] og [tex]H[/tex] er kontinuerlige på [tex][a,b][/tex].
------------

A) Antar først at [tex]a \le x_2 \le x_1[/tex]. Da vet jeg fra setning 8.3.1 (i Kalkulus) at

[tex]\overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt + \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt \Leftrightarrow \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt - \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt[/tex].

Det samme gjelder også for de nedre integralene, så dette betyr at

[tex]|G(x_1)-G(x_2)|=|\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex]
og
[tex]|H(x_1)-H(x_2)| = |\underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex].

Vet at hvis jeg velger [tex]f(x)=M[/tex], får jeg det største "arealet" i [tex][x_{2},x_{1}][/tex] som oppfyller [tex]|f(x)|\le M[/tex]. Siden [tex]f[/tex] er konstant må følgende gjelde:

[tex]\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt[/tex].

Da står det igjen å vise

[tex]|\int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt|=|\int_{x_2}^{x_{1}}Mdt|=|{[Mt]}_{x_2}^{x_1}|=|Mx_{1} - Mx_{2}|=|M||x_{1} - x_{2}| \le M|x_{1} - x_{2}|[/tex].
--------

På den aller siste delen er jeg litt usikker på om jeg kan anta at M er positiv :? Uansett, er det noe som er helt feil i bevisforsøket mitt?

(Oppgave B) har jeg ikke begynt på...)
Sist redigert av kjey den 19/10-2008 17:04, redigert 1 gang totalt.
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

M må være positiv da [tex]|f(x)| \leq M[/tex]
kjey
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 17
Registrert: 09/09-2008 15:40

Ja, det er sant det! Men er beviset riktig?
Charlatan
Guru
Guru
Innlegg: 2499
Registrert: 25/02-2007 17:19

Hva slags notasjon er [tex]\overline{a}[/tex], og [tex]\underline{x}[/tex]?

Uten å ta hensyn til det, ser beviset helt riktig ut, uten at jeg vet om det er rigorøst nok å si at arealet under [tex]g(t)=M[/tex] er større enn [tex]f(t)[/tex] fra [tex]a[/tex] til [tex]x[/tex] når [tex]|f(t)| \leq M[/tex] . Det er iallefall logisk opplagt.

Hva er definisjonen av kontiunitet?
kjey
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 17
Registrert: 09/09-2008 15:40

Notasjonen står for øvre og nedre integral. Men det var den antagelsen om at f(x) = M som jeg var litt redd for, men virker jo logisk at det er den funksjonen som gir størst integral/areal i hvert tilfelle...
Svar