Bevise kontinuitet i øvre/nedre integral
Lagt inn: 19/10-2008 16:01
Jeg har aldri vært noen ekspert i å bevise påstander, men tenkte jeg skulle gjøre et forsøk på ukens kanskje vanskeligste ukesoppgave. Jeg er nesten sikker på at beviset blir feil ved ett eller annet punkt fordi jeg muligens har med en feil antagelse, men skriver opp alt jeg har kommet fram til fordet.
OPPGAVE
I denne oppgaven skal man komme fram til at dersom [tex]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/tex] er begrenset, så er funksjonene
[tex]G(x) = \overline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] og [tex]H(x) = \underline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] kontinuerlige.
A) Anta at [tex]|f(x)|\le M[/tex] for alle [tex]x \in [a,b][/tex]. Vis at for alle [tex]x_{1},x_{2}\in [a,b][/tex] er [tex]|G(x_1) - G(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex] og [tex]|H(x_1) - H(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex].
B) Bruk (A) og definisjonen av kontinuitet til å vise at [tex]G[/tex] og [tex]H[/tex] er kontinuerlige på [tex][a,b][/tex].
------------
A) Antar først at [tex]a \le x_2 \le x_1[/tex]. Da vet jeg fra setning 8.3.1 (i Kalkulus) at
[tex]\overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt + \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt \Leftrightarrow \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt - \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt[/tex].
Det samme gjelder også for de nedre integralene, så dette betyr at
[tex]|G(x_1)-G(x_2)|=|\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex]
og
[tex]|H(x_1)-H(x_2)| = |\underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex].
Vet at hvis jeg velger [tex]f(x)=M[/tex], får jeg det største "arealet" i [tex][x_{2},x_{1}][/tex] som oppfyller [tex]|f(x)|\le M[/tex]. Siden [tex]f[/tex] er konstant må følgende gjelde:
[tex]\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt[/tex].
Da står det igjen å vise
[tex]|\int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt|=|\int_{x_2}^{x_{1}}Mdt|=|{[Mt]}_{x_2}^{x_1}|=|Mx_{1} - Mx_{2}|=|M||x_{1} - x_{2}| \le M|x_{1} - x_{2}|[/tex].
--------
På den aller siste delen er jeg litt usikker på om jeg kan anta at M er positiv Uansett, er det noe som er helt feil i bevisforsøket mitt?
(Oppgave B) har jeg ikke begynt på...)
OPPGAVE
I denne oppgaven skal man komme fram til at dersom [tex]f:[a,b]\to\mathbb{R}[/tex] er begrenset, så er funksjonene
[tex]G(x) = \overline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] og [tex]H(x) = \underline{\int_{a}^{x}}f(t)dt[/tex] kontinuerlige.
A) Anta at [tex]|f(x)|\le M[/tex] for alle [tex]x \in [a,b][/tex]. Vis at for alle [tex]x_{1},x_{2}\in [a,b][/tex] er [tex]|G(x_1) - G(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex] og [tex]|H(x_1) - H(x_2)| \le M|x_1 - x_2|[/tex].
B) Bruk (A) og definisjonen av kontinuitet til å vise at [tex]G[/tex] og [tex]H[/tex] er kontinuerlige på [tex][a,b][/tex].
------------
A) Antar først at [tex]a \le x_2 \le x_1[/tex]. Da vet jeg fra setning 8.3.1 (i Kalkulus) at
[tex]\overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt + \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt \Leftrightarrow \overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \overline{\int_{a}^{x_{1}}}f(t)dt - \overline{\int_{a}^{x_{2}}}f(t)dt[/tex].
Det samme gjelder også for de nedre integralene, så dette betyr at
[tex]|G(x_1)-G(x_2)|=|\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex]
og
[tex]|H(x_1)-H(x_2)| = |\underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt|[/tex].
Vet at hvis jeg velger [tex]f(x)=M[/tex], får jeg det største "arealet" i [tex][x_{2},x_{1}][/tex] som oppfyller [tex]|f(x)|\le M[/tex]. Siden [tex]f[/tex] er konstant må følgende gjelde:
[tex]\overline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \underline{\int_{x_2}^{x_{1}}}f(t)dt = \int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt[/tex].
Da står det igjen å vise
[tex]|\int_{x_2}^{x_{1}}f(t)dt|=|\int_{x_2}^{x_{1}}Mdt|=|{[Mt]}_{x_2}^{x_1}|=|Mx_{1} - Mx_{2}|=|M||x_{1} - x_{2}| \le M|x_{1} - x_{2}|[/tex].
--------
På den aller siste delen er jeg litt usikker på om jeg kan anta at M er positiv Uansett, er det noe som er helt feil i bevisforsøket mitt?
(Oppgave B) har jeg ikke begynt på...)