Variabeltransformasjon

[espen180]

Poster dette her, firdi jeg ikke vet hvor jeg ellers skal legge det.

Så, I dag kom jeg på en måte å løse integraler med hensyn på funksjoner ved å gå gjennom en variabeltransformasjon med en funksjon.

Jeg startet med

[tex]\int x \rm{d}(\sqrt{x}+1)[/tex]

Og ville omforme til du slik at jeg kunne løse den. Jeg satte

[tex]u=sqrt{x}+1 \\ \Updownarrow \\ x=u^2-2u+1[/tex]

så gikk jeg tilbake til integralet og løste:

[tex]\int u^2-2u+1 \rm{d}u=\frac13 u^3-u^2+u+C=\frac{x^{\frac32}+1}{3}+C \\ \int x \rm{d}(\sqrt{x}+1)=\frac{x^{\frac32}+1}{3}+C[/tex]

Etter å ha satt opp noen flere slike integralet satte jeg opp et sett hypoteser om dette. De er som følger:

[tex]\text{Variabeltransformasjon: }\int f(x)\rm{d}\left(g(x)\right)\rightarrow\int h(u)\rm{d}u \\ \text{H1: Variabeltransformasjon er ikke definert for alle } \int f(x)\rm{d}\left(g(x)\right) \\ \text{H2: }\int f(x)\rm{d}\left(g(x)\right)\rightarrow\int h(u)\rm{d}u\Rightarrow h\left(g(x)\right)=f(x) \\ \text{H3: Variabeltransformasjon er kun definert dersom }x\text{ kan isoleres i }f(u)=g(x)[/tex]

Hypoteser H1 er jeg sikker på er sann, og jeg er temmelig sikker på H2. H3 er jeg derimot ikke helt sikker på er sann eller ikke men det virker sannynlig at den også er det.

Noen som vil hjelpe?

[Charlatan]

Dette er integraler på formen [tex]I=\int h(u) \rm{d}t[/tex]
I eksemplene dine har vi at [tex]t=f(u)[/tex].
Dette tilsvarer
[tex]I=\int h(f^{-1}(t)) \rm{d}t[/tex]

Dette avhenger selvsagt av at inversen til f eksisterer i intervallet du integrerer over, og at h er definert for verdimengen av inversen til f.