Bevis grenseverdien til mx+b når x går mot a
Lagt inn: 29/11-2008 12:29
Jeg lurer på om dette beviset holder. Jeg driver og leser Kalkulus, der oppgavene ber meg bevise svarene mine. Så:
Bevis at [tex]\lim_{x\to a} mx+b=ma+b[/tex].
Da her vi at [tex]L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon\,,\,L=ma+b\,,\, f(x)=mx+b \,,\, \epsilon>0[/tex], altså:
[tex]ma+b-\epsilon<mx+b<ma+b+\epsilon \,\, |-b \\ ma-\epsilon<mx<ma+\epsilon[/tex]
Nå finnes det tre tilfeller. [tex]m<0\,,\,m=0\,,\,m>0[/tex].
Hvis [tex]m=0[/tex]:
[tex]\lim_{x\to a} 0\cdot x +b=\lim_{x\to a} b=b\forall a \\ b=0\cdot a +b \Leftrightarrow \lim_{x\to a} mx+b=ma+b\,,\, m=0[/tex]
Hvis [tex]m\neq0[/tex]:
[tex]ma-\epsilon<mx<ma+\epsilon \,\, |-ma \\ |mx-ma|=|m|\cdot |x-a|<\epsilon \,\, |\cdot \frac{1}{|m|} \\ |x-a|<\frac{\epsilon}{|m|}[/tex]
Som vil si at når [tex]f(x)=mx+b[/tex] er i et område rundt [tex]ma+b[/tex], er [tex]x[/tex] i et område rundt [tex]a[/tex], og vi kan si at
[tex]\lim_{x\to a} mx+b=ma+b[/tex]
Q.E.D
Holder dette beviset, eller har jeg oversett noe eller gjort noe feil?
Bevis at [tex]\lim_{x\to a} mx+b=ma+b[/tex].
Da her vi at [tex]L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon\,,\,L=ma+b\,,\, f(x)=mx+b \,,\, \epsilon>0[/tex], altså:
[tex]ma+b-\epsilon<mx+b<ma+b+\epsilon \,\, |-b \\ ma-\epsilon<mx<ma+\epsilon[/tex]
Nå finnes det tre tilfeller. [tex]m<0\,,\,m=0\,,\,m>0[/tex].
Hvis [tex]m=0[/tex]:
[tex]\lim_{x\to a} 0\cdot x +b=\lim_{x\to a} b=b\forall a \\ b=0\cdot a +b \Leftrightarrow \lim_{x\to a} mx+b=ma+b\,,\, m=0[/tex]
Hvis [tex]m\neq0[/tex]:
[tex]ma-\epsilon<mx<ma+\epsilon \,\, |-ma \\ |mx-ma|=|m|\cdot |x-a|<\epsilon \,\, |\cdot \frac{1}{|m|} \\ |x-a|<\frac{\epsilon}{|m|}[/tex]
Som vil si at når [tex]f(x)=mx+b[/tex] er i et område rundt [tex]ma+b[/tex], er [tex]x[/tex] i et område rundt [tex]a[/tex], og vi kan si at
[tex]\lim_{x\to a} mx+b=ma+b[/tex]
Q.E.D
Holder dette beviset, eller har jeg oversett noe eller gjort noe feil?