Grense av sammensatt funksjon

[FredrikM]

Eksamenslesing nå, så kom over denne oppgaven:

Anta at [tex]\lim_{x\to a}g(x)=b[/tex] og at [tex]\lim_{x\to b}f(x)=c[/tex]. Anta videre at [tex]g(x) \neq b[/tex] for alle x tilstrekkelig nær a. Vis at
[tex]\lim_{x\to a}f[g(x)]=c[/tex]

Vi må altså finne en [tex]\delta \gt 0[/tex] slik at når [tex]0 \lt |x-a| \lt \delta[/tex], så er [tex]|f[g(x)]-c| \lt \eps[/tex].

Fra antakelsene vet vi følgende:
1) [tex]\exists \, \delta \gt 0[/tex] slik at når [tex]0 \lt |x-a| \lt \delta[/tex], så er [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex].

2) Vi vet at nå kan sette [tex]0 \lt |x-b| \lt \gamma[/tex], så er [tex]|f(x)-c| \lt \eps[/tex].

Men nå må jeg innrømme at jeg sitter pittelitt fast. Kan noen komme med et vagt hint om hva jeg skal gjøre?

[espen180]

Er ikke sikker på om det er så lurt å begyne å fikle med epsiloner og deltaer her. Jeg ville heller angrepet oppgaven med selve funksjonene.

Jeg har sendt deg et løsningsforslag på PM, slik at du får se hvordan jeg gjorde det, om du vil.

[daofeishi]

Er ikke sikker på om det er så lurt å begyne å fikle med epsiloner og deltaer her. Jeg ville heller angrepet oppgaven med selve funksjonene.

Her stiller jeg meg litt skeptisk til gyldigheten av beviset ditt. Kan du legge det ut her?

Det er sammenhengen mellom to ting her som vil lede deg i mål.
1) Det vil alltid finnes en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|x-a|<\delta \Rightarrow |g(x)-b|<\epsilon^\prime[/tex] for hver [tex]\epsilon^\prime>0[/tex]
2) [tex]|x-b|<\epsilon^\prime \Rightarrow |f(x)-c|<\epsilon[/tex] for en passende [tex]\epsilon^\prime[/tex]

Min bruk av epsiloner over er ikke tilfeldig.

(Merk, over har vi benyttet standardmetrikken for [tex]\mathbb{R}[/tex]. Hvis du vil gjøre det for en vilkårlig metrikk, bør du bytte ut absoluttverdiene med en generell metrikk d(x,y). Beviset blir det samme.)

[espen180]

Når jeg ser på "beviset mitt" igjen, ser det veldig overfladisk ut, egentlig. Jeg tror ikke det har tilfredsstillende argumentasjon for å være ærlig.

[FredrikM]

Det er sammenhengen mellom to ting her som vil lede deg i mål.
1) Det vil alltid finnes en [tex]\delta[/tex] slik at [tex]|x-a|<\delta \Rightarrow |g(x)-b|<\epsilon^\prime[/tex] for hver [tex]\epsilon^\prime>0[/tex]
2) [tex]|x-b|<\epsilon^\prime \Rightarrow |f(x)-c|<\epsilon[/tex] for en passende [tex]\epsilon^\prime[/tex]

Min bruk av epsiloner over er ikke tilfeldig.

Det var noe lignende jeg tenkte først. Eller - ved nærmere ettersyn, har jeg skrevet det samme som over, bare med [tex]\gamma[/tex] i stedet for [tex]\eps[/tex].

Problemet mitt er at jeg ikke kommer på hvordan jeg skal gå lenger enn dette. Selv om det aner meg at jeg er ganske nær.

PS: I tex kan man skrive \eps i stedet for \epsilon.

[FredrikM]

1) [tex]\exists \, \delta \gt 0[/tex] slik at når [tex]0 \lt |x-a| \lt \delta[/tex], så er [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex].

2) Vi vet at nå kan sette [tex]0 \lt |x-b| \lt \gamma[/tex], så er [tex]|f(x)-c| \lt \eps[/tex].

Hm.

Går det an nå å kombinere 1) og 2), og si følgende:

Vi ser at når [tex]0 \lt |x-a| \lt \delta[/tex], så er også [tex]|f(x)-c| \lt \eps[/tex].

Og beviset er fullført? (selv er jeg lite overbevist - men innskytelsen kom)

[daofeishi]

Det stemmer ikke uten videre. (Jeg tror muligens du har løsningen, men skrev feil?) Tenk på hva som skjer dersom du lar x være g(x) i 2), og se hva som bestemmer eksistensen av grenseverdien da.

PS: I tex kan man skrive \eps i stedet for \epsilon.

Takk! Dét kommer til å spare meg en ikke ubetydelig mengde arbeid neste termin

[FredrikM]

1) [tex]\exists \, \delta \gt 0[/tex] slik at når [tex]0 \lt |x-a| \lt \delta[/tex], så er [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex].

2) Vi vet at nå kan sette [tex]0 \lt |x-b| \lt \gamma[/tex], så er [tex]|f(x)-c| \lt \eps[/tex].

Hm. Så hvis jeg endrer 2) til:

Vi vet nå at vi har [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex]. Vi vet også at siden [tex]\lim_{x\to b}f(x)=c[/tex], så har vi at når [tex]|g(x)-b|\lt \gamma[/tex], så er [tex]|f[g(x)]-c| \lt \eps[/tex]

Og beviset er fullført? (småtvilende, men mer sikker enn i stad)

[daofeishi]

Joda, du er i grunnen i mål, men du må passe på formuleringene dine. Husk, det du har lyst til å konkludere er:

[tex]\forall \eps>0 \ \exists \delta \ : \ (|x-a|<\delta \Rightarrow |f(g(x)) - c| < \eps)[/tex]

Du må altså vise at dersom du er gitt epsilon, kan du finne en delta slik at dette stemmer. Det må komme klart frem av argumentet ditt.

[FredrikM]

Ok - fint. Kan prøve å ta hele greia, så hvis du ikke føler det er godt nok formulert, ville jeg vært takknemlig for forslag til forbedringer.

- - -

Følgende antas:
[tex]\lim_{x\to a}g(x)=b[/tex] (1) og [tex]\lim_{x\to b}f(x)=c[/tex] (2)

Skal vise at når [tex]|x-a|\lt\delta[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex]

Av (1) vet vi at [tex]\exists \delta \gt 0[/tex] slik at når [tex]|x-a|\lt \delta[/tex], så er [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex]. Av (2) vet vi at når [tex]|g(x)-b|\lt\gamma[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt\eps[/tex]. Men nå ser vi jo at når [tex]|x-a|\lt \delta[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex].

QED?

- - -

Tror fremdeles jeg er litt rask i svingene.

[daofeishi]

Ja, slakk litt på farten i andre sving.

Skal vise at når [tex]|x-a|\lt\delta[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex]

Ikke helt. Det du må vise er: Gitt en epsilon eksisterer denne deltaen. Det er eksistensen som er cluet. Det som står er forsåvidt gyldig, men forklaringene dine inneholder ikke den rette matematiske argumentasjonen. Igjen, du må vise hvorfor du alltid kan finne en delta slik at dette stemmer.

[daofeishi]

Følgende antas:
[tex]\lim_{x\to a}g(x)=b[/tex] (1) og [tex]\lim_{x\to b}f(x)=c[/tex] (2)
Stemmer

Skal vise at når [tex]|x-a|\lt\delta[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex]
Bør være: Skal vise, gitt epsilon kan vi finne delta slik at dersom [tex]|x-a|\lt\delta[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex]

Av (1) vet vi at [tex]\exists \delta \gt 0[/tex] slik at når [tex]|x-a|\lt \delta[/tex], så er [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex]. Stemmer. Presiser gamma>0

Av (2) vet vi at når [tex]|g(x)-b|\lt\gamma[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt\eps[/tex].
Nei. Vi vet derimot at gitt en epsilon kan vi finne en gamma... Det er en forskjell. Det du skriver gir ikke mening, siden du ikke har presisert hva gamma og epsilon er.

Men nå ser vi jo at når [tex]|x-a|\lt \delta[/tex], så er [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex]. Igjen: Du har lyst til å konkludere at dersom du er gitt en vilkårlig epsilon kan du finne en slik delta.

[FredrikM]

Oj, oj - kan prøve å følge presiseringene dine:

- - -

Følgende antas:
[tex]\lim_{x\to a}g(x)=b[/tex] (1)
[tex]\lim_{x\to b}f(x)=c[/tex] (2)

Skal vise at [tex]\lim_{x\to a}f[g(x)]=c[/tex]

Må vise at gitt en [tex]\eps \gt 0[/tex], kan vi finne en [tex]\delta \gt 0[/tex], slik at [tex]|f[g(x)]-c|\lt\eps[/tex] når [tex]0\lt|x-a|\lt \delta[/tex].

Av (1) vet vi, gitt enhver [tex]\gamma \gt 0[/tex] at [tex]\exists\delta\gt0[/tex] slik at når [tex]|x-a|\lt\delta[/tex], så er [tex]0 \lt |g(x)-b|\lt \gamma[/tex].

Av (2) vet vi, gitt enhver epsilon, at vi kan finne en [tex]\gamma \gt 0[/tex] slik at når [tex]|g(x)-b| \lt \gamma[/tex], så er [tex]0 \lt|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex].

Men dermed ser vi jo at gitt enhver [tex]\eps \gt 0[/tex], kan vi finne en [tex]\delta \gt 0[/tex], slik at [tex]|f(g(x))-c|\lt \eps[/tex] når [tex]0\lt|x-a|\lt \delta[/tex]. Og beviset er fullført.

- - -

Bedre nå?

[daofeishi]

Det ser bra ut

[FredrikM]

Woho :D

Men takk for all hjelp! Virkelig lærerikt.