Jeg har her en hypotese jeg kom på selv, men jeg har vanskeligheter med å bevise den rent matematisk.
Hypotesen:
[tex]P(x)\geq 0\vee P(x) \leq 0 \forall x \Rightarrow \exist x: P^\prime (x)=0\,,\, P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i[/tex]
Hvis et polynom holder seg over eller under førsteaksen skjærer den deriverte til polynomet førsteaksen minst en gang.
Noen som klarer å lage et bevis for påstanden, eller eventuellt motbevise den?
Takk på forhånd.
Analyse - Hypotese, trenger bevis
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
For at et polynom ikke skal passere x-aksen, må jo grafen snu slik at den ikke treffer x-aksen?
Og hvis grafen snur, krysser jo selvfølgelig den deriverte x-aksen.
Tenker jeg rett nå? I såfall tror jeg du tenker litt vel komplisert.
Og hvis grafen snur, krysser jo selvfølgelig den deriverte x-aksen.
Tenker jeg rett nå? I såfall tror jeg du tenker litt vel komplisert.
http://projecteuler.net/ | fysmat
Ja, så langt har jeg også kommet, men jeg leter etter en ren matematisk, ikke en rent logisk forklaring.
Hvis f(x) || 0 => f'(x)=0 for alle x, fordi f(x+dx)-f(x) = 0 for alle x, der f(x+dx)=f(x).
Hvis f(x) > 0 eller f(x) < 0 => f(x)=x^y. (er vel iofs. en ganske svak uttalelse)
En ting jeg lurer på da er om det er mulig med en serie asymptoter g(x) som holder seg over eller under grafen, for vil ikke det implisere at g'(x) > 0 eller g'(x) < 0 for alle x, hvis g(x) vokser for alle verdier av x?
EDIT: Eller er det der et punkt i f'(x) mellom x1 og x2, hvor x1 er før, og x2 er etter en asymptotisk vekst i f(x), slik at f'(x) < 0?
Hvis f(x) > 0 eller f(x) < 0 => f(x)=x^y. (er vel iofs. en ganske svak uttalelse)
En ting jeg lurer på da er om det er mulig med en serie asymptoter g(x) som holder seg over eller under grafen, for vil ikke det implisere at g'(x) > 0 eller g'(x) < 0 for alle x, hvis g(x) vokser for alle verdier av x?
EDIT: Eller er det der et punkt i f'(x) mellom x1 og x2, hvor x1 er før, og x2 er etter en asymptotisk vekst i f(x), slik at f'(x) < 0?
Kan du bruke latex? Det var litt vanskelig å holde følge med argumentene dine.
Også, polynomer har da ikke asymptoter...?
Også, polynomer har da ikke asymptoter...?
Hvis et polynom ikke treffer førsteaksen er det av grad 2n for en eller annen hel n. Den deriverte er da av grad 2n-1, som er odd, og har derfor minst en rot.
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
Denne er dog ikke et polynom.Men om jeg forstår deg rett: P(x)=1/x
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Der ja. Flott!=) skrev:Hvis et polynom ikke treffer førsteaksen er det av grad 2n for en eller annen hel n. Den deriverte er da av grad 2n-1, som er odd, og har derfor minst en rot.
Takk, =).
