matematikk.net

Jeg har her en hypotese jeg kom på selv, men jeg har vanskeligheter med å bevise den rent matematisk.

Hypotesen:
[tex]P(x)\geq 0\vee P(x) \leq 0 \forall x \Rightarrow \exist x: P^\prime (x)=0\,,\, P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i[/tex]

Hvis et polynom holder seg over eller under førsteaksen skjærer den deriverte til polynomet førsteaksen minst en gang.

Noen som klarer å lage et bevis for påstanden, eller eventuellt motbevise den?

Takk på forhånd.

For at et polynom ikke skal passere x-aksen, må jo grafen snu slik at den ikke treffer x-aksen?

Og hvis grafen snur, krysser jo selvfølgelig den deriverte x-aksen.

Tenker jeg rett nå? I såfall tror jeg du tenker litt vel komplisert.

Ja, så langt har jeg også kommet, men jeg leter etter en ren matematisk, ikke en rent logisk forklaring.

Hvis f(x) || 0 => f'(x)=0 for alle x, fordi f(x+dx)-f(x) = 0 for alle x, der f(x+dx)=f(x).

Hvis f(x) > 0 eller f(x) < 0 => f(x)=x^y. (er vel iofs. en ganske svak uttalelse)

En ting jeg lurer på da er om det er mulig med en serie asymptoter g(x) som holder seg over eller under grafen, for vil ikke det implisere at g'(x) > 0 eller g'(x) < 0 for alle x, hvis g(x) vokser for alle verdier av x?

EDIT: Eller er det der et punkt i f'(x) mellom x1 og x2, hvor x1 er før, og x2 er etter en asymptotisk vekst i f(x), slik at f'(x) < 0?

Kan du bruke latex? Det var litt vanskelig å holde følge med argumentene dine.

Også, polynomer har da ikke asymptoter...?

Du tenker for avansert, ja. Enten må det være en konstant, som alltid er lik 0 når den er derivert, eller en funksjon som har toppunkt eller bunnpunkt, som selvfølgelig blir 0 derivert.

Men om jeg forstår deg rett: P(x)=1/x

Hvis et polynom ikke treffer førsteaksen er det av grad 2n for en eller annen hel n. Den deriverte er da av grad 2n-1, som er odd, og har derfor minst en rot.

Men om jeg forstår deg rett: P(x)=1/x

Denne er dog ikke et polynom.

=) skrev:Hvis et polynom ikke treffer førsteaksen er det av grad 2n for en eller annen hel n. Den deriverte er da av grad 2n-1, som er odd, og har derfor minst en rot.

Der ja. Flott!

Takk, =).

espen180 skrev:Kan du bruke latex? Det var litt vanskelig å holde følge med argumentene dine.

Også, polynomer har da ikke asymptoter...?

Kan gjøre det fra nå av. Det bidro nok ikke så mye uansett ^^. Det siste visste jeg ikke, heh ..

Kommer an på hva du legger i asymptote.